Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(A=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{2xy}+8xy\right)-4xy\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{2xy}.8xy}-\left(x+y\right)^2=4+4-1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0,5.
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
Như này nha bạn
Akakakakaka,am,am
ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi ha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihiha ha ha ha hihihihihihihihihihi
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge4+2+5=11\)
"=" tại x = y = 1/2
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=4+2+5=11\)
A = \(\frac{7}{2}\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)-\frac{5}{2\left(x^2+y^2\right)}\)
Áp dụng bđt cauchy là ra bài
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+4xy\)
Do x,y\(\ge\)0
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*)
Và \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)(**)
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: \(A=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+4xy\ge\left(\frac{4}{x+y}\right)^2+4xy=\frac{16}{\left(x+y\right)^2}+4xy\)
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:\(A\ge\frac{16}{\left(x+y\right)^2}+4xy\ge2\sqrt{\frac{16}{\left(x+y\right)^2}.4xy}=2.\frac{8\sqrt{xy}}{x+y}\ge16\sqrt{xy}\)(do x+y\(\le\)1)
mình đang còn suy nghĩ đây là bản nháp bạn xem thử
1.
Đầu tiên ta cm: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\) (cô si)
Dấu "=" khi a = b.
Áp dụng:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\) \(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=4+2+5=11\)
Vậy MinA = 11 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow x^2+1=P\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-Px^2+Px-P=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(1-P\right)x^2+Px+\left(1-P\right)=0\)
\(\Delta=P^2-4\left(1-P\right)^2\)
\(=P^2-4\left(1-2P+P^2\right)=-3P^2+8P-4\)
Để P có GTNN và GTLN thì phương trình (*) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow-3P^2+8P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2+2P+6P-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P\left(3P-2\right)+2\left(3P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3P-2\right)\left(2-P\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\le P\le2\)
Vậy \(min_P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=-1\); \(max_P=2\Leftrightarrow x=1\)
Sủ dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};\text{ }ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{5}{4.\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+5\)
\(\ge4+2+5=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(-------\)
Chứng minh bổ đề: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(i\right)\) (với \(a,b>0\) )
Bđt \(\left(i\right)\) tương đương với bđt sau:
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) \(\left(ii\right)\)
Ta cần chứng minh bđt \(\left(ii\right)\) luôn đúng với mọi \(a,b>0\)
Thật vậy, ta áp dụng bđt \(Cauchy\) loại hai cho từng bộ số gồm hai số không âm đề giải quyết bài toán trơn tru như sau:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) \(\left(1\right)\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(2\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) , ta suy ra điều phải chứng minh.
Vì bđt \(\left(ii\right)\) được chứng minh nên kéo theo bđt \(\left(i\right)\) luôn đúng với mọi \(a,b>0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
\(-------\)
Quay trở về bài toán, ta có:
\(1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{2}\)
nên suy ra được \(xy\le\frac{1}{4}\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
Áp dụng bđt \(\left(i\right)\) cho biểu thức đầu tiên, bđt Cauchy cho biểu thức thứ hai và với chú ý rằng \(xy\le\frac{1}{4}\) , ta được:
\(P\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{4.\frac{1}{4}}=4+2+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\) (bạn cần làm rõ khúc này nha)
Vậy, \(P_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge4+2+5=11\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy..