OH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\\y=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\end{matrix}\right.\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
Cụ thể hơn:
\(\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\)
\(=\frac{1^2}{1-3xy}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{1-3xy}{1}=\frac{3xy}{\sqrt{3}}\Rightarrow1-3xy=\sqrt{3}xy\)
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)
\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
TT
2
9 tháng 1 2019
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) được
\(VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy ...........
10 tháng 1 2019
Cũng ko hẳn là cách khác nhưng xem cho vui v :)
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)
3 tháng 6 2019
Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow1+x^3+y^3\ge xyz+xy\left(x+y\right)=xy\left(x+y+z\right)\ge3xy\sqrt[3]{xyz}=3xy\)
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3yz}}{yz}=\sqrt{\frac{3}{yz}}\); \(\frac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3xz}}{xz}=\sqrt{\frac{3}{xz}}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\ge3\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x^2y^2z^2}}}=3\sqrt{3}\)
KN
13 tháng 12 2019
Ta có: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Rightarrow1+x^3+y^3\ge xyz+xy\left(x+y\right)\)
\(=xy\left(x+y+z\right)\ge3xy\sqrt[3]{xyz}=3xy\)(vì xyz = 1)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}=\sqrt{\frac{3}{yz}}\);\(\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}=\sqrt{\frac{3}{zx}}\)
Cộng vế với vế, ta được:
\(BĐT=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)
\(\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x^2y^2z^2}}}=3\sqrt{3}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))
23 tháng 8 2017
Tìm x :
a) ( x - 15 ) . 35 = 0
x - 15 = 0 : 35
x - 15 = 0
x = 0 + 15
x = 15
b) 32 ( x - 10 ) = 32
x - 10 = 32 : 32
x - 10 = 1
x = 1 + 10
x = 11
23 tháng 8 2017
\(\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}\ge5\)
NP
2
TN
14 tháng 10 2016
\(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\)
Ta có:
\(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\left(1\right)\)
Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge4+2\sqrt{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
P=1/(x+y)(x^2-xy+y^2)+1/xy
P=1/(x^2-xy+y^2)+1/xy ( vĩ+y=1)
P=1/(x^2-xy+y^2)+3/xy
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Svac có
P>=(√3+1)^2/(x+y)^2
P>=(√3+1)^2 (vì x+y=1)
hay P>=4+2√3(đpcm)