Question

[Nobita Kun]

Cho x,y > 0 và x + y = 1. CMR: \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\ge6\)

Answer 1

[lý canh hy]

với 2 số dương a,b ta luôn có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\):\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Áp dụng vào bài toán, ta có

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\)

\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{2}{4xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)(vì x+y=1)

Answer 2

[Nguyễn Gia Triệu]

Ta có: x²+y²≤(x+y)²/2 => 1/(x²+y²)≥2/(x+y)²=2

xy≤(x+y)²/4 => 1/xy≥4/(x+y)²=4

=>1/(x²+y²)+1/xy≥2+4=6

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2