LT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 6 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT trên ta có:
\(\dfrac{1}{3}VP\le\dfrac{1}{9}\cdot3\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\dfrac{1}{3}VT\)
Xảy ra khi \(x=y=z\)
15 tháng 6 2018
\(=\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)
\(=\left(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\)
\(\sqrt{x}>=0\Rightarrow\sqrt{x}+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2>=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\left(1\right)\)
\(\sqrt{y}>=0\Rightarrow\sqrt{y}+\frac{1}{2}>=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2>=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)\left(\left(\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)>=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)\left(y+\sqrt{y^2}+1\right)>=1\cdot1=1\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=0\)
mà theo giả thiết \(\left(x+\sqrt{x^2}+1\right)\left(y+\sqrt{y^2}+1\right)=1\Rightarrow x=y=0\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=0\sqrt{y^2+1}+0\sqrt{x^2+1}=0+0=0\)
15 tháng 6 2018
hình như đề phải là \(\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(y+\sqrt{y}+1\right)\)mới đúng
3 tháng 10 2023
Ta có với x,y,z >0 thì:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Bất đẳng thức Cô si ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Tương tự: \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Từ đó ta có:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\left(dpcm\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
DT
28 tháng 6 2021
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x và \(\sqrt{1-y^2}\) có:
x\(\sqrt{1-y^2}\) ≤ \(\dfrac{x^2+1-y^2}{2}\)
Tương tự: \(y\sqrt{1-z^2}\le\dfrac{y^2+1-z^2}{2}\); \(z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{z^2+1-x^2}{2}\)
=> \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) => x2 = y2 = z2 = \(\dfrac{1}{2}\)
=> x2 + y2 + z2 = 3x2 = 3.\(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{2}\)