NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}.\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{yx-y})^2$
$\leq (x+y)(xy-x+xy-y)\leq \left(\frac{x+y+xy-x+xy-y}{2}\right)^2=(xy)^2$
$\Rightarrow x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2020
\(x.1.\sqrt{y-1}+y.1.\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\left(1+y-1\right)+\frac{y}{2}\left(1+x-1\right)=xy\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2022
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
S
5
10 tháng 10 2016
Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)
\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)
Cộng hai BĐT trên theo vế ta có đpcm
NT
0
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\). (1)
Theo bđt Bunhiakowski:
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\).
Tương tự: \(\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\ge y+\sqrt{zx}\); \(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}\).
Cộng vế với vế và kết hợp với gt x + y + z = 1 ta có (1) đúng.
Vậy ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2021
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)
Tương tự:
\(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx}\) ; \(\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge\left(x+y+z\right)+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=...\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
VT
31 tháng 5 2019
mk nhầm phải là
\(\frac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
DF
1
14 tháng 1 2021
Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)
\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.
VD
0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)
=>\(x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)
=>\(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=xy\)
Dấu ''='' xảy ra <=>x=y=1