NM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CM
0
BA
0
GL
1
EC
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Nếu \(xy\le0\Rightarrow M\le0;\) nếu \(xy>0\Rightarrow M>0\Rightarrow\) GTLN nếu có của M sẽ xảy ra khi \(xy>0\)
Xét \(xy>0\Rightarrow xy+1>0\Rightarrow x>0\Rightarrow y>0\)
\(x\ge xy+1\Leftrightarrow1\ge y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\Rightarrow\frac{y}{x}\le\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}\ge4\)
\(M=\frac{3xy}{x^2+y^2}=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=\frac{3}{\frac{15}{16}.\frac{x}{y}+\frac{x}{16y}+\frac{y}{x}}\le\frac{3}{\frac{15}{16}.4+2\sqrt{\frac{xy}{16yx}}}=\frac{12}{17}\)
\(\Rightarrow M_{max}=\frac{12}{17}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
MA
26 tháng 7 2019
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Ta được điều phải chứng minh.
7 tháng 11 2018
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
7 tháng 11 2018
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~
TN
19 tháng 3 2017
Ta đặt \(x=tanA;y=tanB;z=tanC\) với \(ABC\) là các góc tam giá từ đây cần c/m
\(sinA+sinB+sinC\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
tài liệu c/m BĐT này đầy trên mạng bn có thể tham tham khảo
VD:Cm : sinA+sinB+sinC bé hơn hoặc bằng (3* căn3)/2? | Yahoo Hỏi & Đáp
TN
19 tháng 3 2017
Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) thì ta tìm được \(P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN
Thật vậy, ta cần chứng minh
\(Σ\frac{1}{\sqrt{x^2+xy+xz+yz}}\le\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{xy+xz+yz}}\left(xy+yz+xz=1\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\sqrt{x+y}\le\frac{3\sqrt{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}{2\sqrt{xy+xz+yz}}\)
Nhưng theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(Σ\sqrt{x+y}\right)^2\le\left(1+1+1\right)Σ\left(x+y\right)=6\left(x+y+z\right)\)
Như vậy, ta còn phải chứng minh :
\(\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\le\frac{3\sqrt{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}{2\sqrt{xy+xz+yz}}\)
\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+xz+yz\right)\)
\(\LeftrightarrowΣz\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng. Nên \(P_{Min}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
HN
4 tháng 9 2018
\(P=\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{17}-\dfrac{1}{17}\left(4x^2-17xy+4y^2\right)\le\dfrac{4}{17}-\dfrac{1}{17}\left[\left(\dfrac{x^2}{4}-2xy+4y^2\right)+\dfrac{15}{4}x^2-15x+15\right]\)
\(=\dfrac{4}{17}-\dfrac{1}{17}\left[\left(\dfrac{x}{2}-2y\right)^2+\dfrac{15}{4}\left(x-2\right)^2\right]\le\dfrac{4}{17}\)
Dâu = xảy ra khi \(x=2;y=\dfrac{1}{2}\)
Ta có: \(x \geqslant xy+1 \Rightarrow x-1 \geqslant xy\)
\( P = \dfrac{{3xy}}{{{x^2} + {y^2}}} = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)y + 3y}}{{{x^2} + {y^2}}}\\ \le \dfrac{{3x{y^2} + 3y}}{{2xy}} = \dfrac{{3y\left( {x + 3} \right)}}{{2xy}}\\ = \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{2x}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{{2x}} \le 2.\dfrac{3}{2} = 3\\ \Rightarrow {P_{\max }} = 3 \)
dấu "=" xảy ra khi nào vậy