BT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 5 2019
\(\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x+y+z}}\)
22 tháng 8 2021
Ta có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}.2.\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
23 tháng 1 2018
hình như bài này có trong đề thi hsg toán 9 tp ha nôi 2016 hay sao ý ^.^
3 tháng 6 2016
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
B
29 tháng 5 2022
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
JJ
21 tháng 1 2018
MAx
ó thể thấy rằng:
xy + yz + 2zx = y(x + z) + 2zx <= lyllx + zl + 2zx (1).
Lại có lx + zl <= căn[2(x^2 + z^2)] = căn[2(1 - y^2)] và 2zx <= z^2 + x^2 = 1 - y^2; từ đây suy ra
xy + yz + 2zx <= lylcăn[2(1 - y^2)] + 1 - y^2 (2).
Tiếp đến, ta sẽ chứng minh lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 + 1/2 (3), từ đó suy ra kết quả của bài toán. Thật vậy, ta có
lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 - 1/2 <=> lylcăn[2(1 - y^2)] <= y^2 + căn(3)/2 - 1/2
<=> 2y^2(1 - y^2) <= y^4 + (căn(3) - 1)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - (3 - căn(3))y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - 2căn(3)(căn(3)/2 - 1/2)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> (căn(3)y^2 - căn(3)/2 + 1/2)^2 >= 0.
Đẳng thức xảy ra khi y = căn[1/2 - 1/2căn(3)] hoặc y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
Từ (1),(2),(3) suy ra
xy + yz + 2zx <= căn(3)/2 + 1/2.
Dấu = xảy ra khi dấu = của (1),(2),(3) cùng xảy ra, tức là x = z = (1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = căn[1/2 - 1/2căn(3)], hoặc x = z = (-1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
15 tháng 10 2017
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
15 tháng 10 2017
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
B
0
T nghĩ là Max
Áp dụng Bunyakovsky, ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
\(x+y+z\le\sqrt{3}\)
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=1\)
\(M\text{ax}_P=1+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
đề bài ghi tìm cả max và min nhưng max mình tìm dc r