NH
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2019
\(\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)=1+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{2}{3}\)
\(P\ge x^4+y^4-\frac{x^4+y^4}{2}=\frac{x^4+y^4}{2}\ge\frac{\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{18}\)
\(P_{min}=\frac{1}{18}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\) và hoán vị
Bình phương 2 vế giả thiết:
\(x^4+y^4+2x^2y^2=x^2y^2+2xy+1\)
\(\Rightarrow x^4+y^4=-x^2y^2+2xy+1\)
\(\Rightarrow P=-2x^2y^2+2xy+1=-\frac{1}{2}\left(2xy-1\right)^2+\frac{3}{2}\le\frac{3}{2}\)
\(P_{max}=\frac{3}{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{1}{2}\\x^2+y^2=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=...\\y=...\end{matrix}\right.\)
A
2
15 tháng 8 2016
Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}\le8\) hay \(\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le3\Rightarrow xy\le4\)
Ta có : \(\left(9-xy\right)^2=\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2\left(x+y+xy\right)=x^2+y^2+17\)
Vì \(xy\le4\Rightarrow9-xy\ge5\Rightarrow\left(9-xy\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+17\ge25\)
\(\Rightarrow A\ge8\) . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2
Vậy Min A = 8 tại x = y = 2
15 tháng 8 2016
Ta có:
\(x^2+y^2=\)
\(=\frac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\frac{8}{3}\)
\(\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)
\(\Rightarrow P\ge8\)
Dấu = khi \(x=y=2\)
Vậy MinP=8 khi x=y=2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 7 2017
Lời giải:
Có \(y=\frac{x^2+2x+2}{x^2+2}\Leftrightarrow x^2y+2y=x^2+2x+2\)
\(\Leftrightarrow x^2(y-1)-2x+(2y-2)=0\)\((\star)\)
Nếu \(y-1=0\rightarrow y=1(1)\Leftrightarrow \frac{x^2+2x+2}{x^2+2}=1+\frac{2x}{x^2+2}=1\Leftrightarrow x=0\)
Nếu \(y\neq 1\). Điều kiện để PT \((\star)\) có nghiệm là:
\(\Delta'=1-(y-1)(2y-2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)^2\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{\sqrt{2}}\leq y-1\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\)\((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \)\(\left\{\begin{matrix} y_{\min}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}\\ y_{\max}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
YT
0
N
30 tháng 11 2019
Từ giả thiết ta có: \(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)
\(\Rightarrow P=x+y+z+\frac{2}{\left(x+y-z\right)^2.z}=x+y+z+\frac{8}{4z\left(x+y-z\right)^2}\)
Am-Gm:\(\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right).4z\le\frac{1}{27}\left(2x+2y+2z\right)^3=\frac{8}{27}\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\)
\(=\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge4\sqrt[4]{\frac{\left(x+y+z\right)^3.27}{27.\left(x+y+z\right)^3}}=4\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-z=4z\\x+y+z=3\\\left(x+y-z\right)^2=4xy\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=\frac{1}{2}\\x+y=\frac{5}{2}\\xy=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};2;\frac{1}{2}\right)\) hoặc \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\). Nhưng vì đề bài cho đối xứng với cả 3 biến nên dấu = xảy ra tại hoán vị của \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Vậy P min =4
30 tháng 11 2019
Ngọc HnueThảo PhươngĐỖ CHÍ DŨNGMinh AnBăng Băng 2k6Vũ Minh Tuấn
Cho x ;y không âm thỏa \(xy+x+y=8\). Tìm max \(x^2+y^2\).
Vì x; y không âm nên ta có ngay \(xy\ge0\) \(\Rightarrow8\ge x+y\)
\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\le64\)
Dấu = xảy ra khi (x;y) = (8;0); (0;8)
\(x^2+y^2\\ =\dfrac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\dfrac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\dfrac{8}{3}\\ \ge\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+xy\right)-\dfrac{8}{3}=8\)
Vây Min A = 8 khi x=y=2