Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$P=x^4+y^4-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2$
$=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2=(1+xy)^2-3x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1$
$=-2t^2+2t+1$ (đặt $t=xy$)
Mặt khác, từ đề bài ta có:
$1+xy-2xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow xy\leq 1$
$1+xy+2xy=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\geq 0$
$\Rightarrow xy\geq \frac{-1}{3}$
Vậy, ta cần tìm min, max $P=-2t^2+2t+1$ với $\frac{-1}{3}\leq t\leq 1$
Ta thấy:
$P=\frac{3}{2}-2(t^2-t+\frac{1}{4})=\frac{3}{2}-2(t-\frac{1}{2})^2\leq \frac{3}{2}$ với mọi $-\frac{1}{3}\leq t\leq 1$
Do đó $P_{\max}=\frac{3}{2}$
Mặt khác:
$P=-2t^2+2t+1=-\frac{2}{3}t(3t+1)+\frac{8}{9}(3t+1)+\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{9}(3t+1)(8-6t)+\frac{1}{9}$
Với $\frac{-1}{3}\leq t\leq 1$ thì: $3t+1\geq 0; 8-6t\geq 0$
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{9}$
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{9}$
P=x4+y4−x2y2=(x2+y2)2−2x2y2−x2y2P=x4+y4−x2y2=(x2+y2)2−2x2y2−x2y2
=(x2+y2)2−3x2y2=(1+xy)2−3x2y2=−2x2y2+2xy+1=(x2+y2)2−3x2y2=(1+xy)2−3x2y2=−2x2y2+2xy+1
=−2t2+2t+1=−2t2+2t+1 (đặt t=xyt=xy)
Mặt khác, từ đề bài ta có:
1+xy−2xy=x2+y2−2xy=(x−y)2≥01+xy−2xy=x2+y2−2xy=(x−y)2≥0
⇔xy≤1⇔xy≤1
1+xy+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2≥01+xy+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2≥0
⇒xy≥−13⇒xy≥−13
Vậy, ta cần tìm min, max P=−2t2+2t+1P=−2t2+2t+1 với −13≤t≤1−13≤t≤1
Ta thấy:
P=32−2(t2−t+14)=32−2(t−12)2≤32P=32−2(t2−t+14)=32−2(t−12)2≤32 với mọi −13≤t≤1−13≤t≤1
Do đó Pmax=32Pmax=32
Mặt khác:
P=−2t2+2t+1=−23t(3t+1)+89(3t+1)+19P=−2t2+2t+1=−23t(3t+1)+89(3t+1)+19
=19(3t+1)(8−6t)+19=19(3t+1)(8−6t)+19
Với −13≤t≤1−13≤t≤1 thì: 3t+1≥0;8−6t≥03t+1≥0;8−6t≥0
⇒P≥19⇒P≥19
Vậy Pmin=19
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
Làm phần min trước, Max để mai:
Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).
*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)
*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:
\(\ge0\)
P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D
\(A=\dfrac{x^2-xy+2y^2}{1}=\dfrac{x^2-xy+2y^2}{x^2+xy+y^2}\)
Với \(y=0\Rightarrow A=1\)
Với \(y\ne0\), chia cả tử và mẫu của vế phải cho \(y^2\Rightarrow A=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{x}{y}+2}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+\dfrac{x}{y}+1}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow A=\dfrac{a^2-a+2}{a^2+a+1}\Leftrightarrow A.a^2+A.a+A=a^2-a+2\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)a^2+\left(A+1\right)a+A-2=0\)
\(\Delta=\left(A+1\right)^2-4\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3A^2+14A-7\ge0\Rightarrow\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3}\le A\le\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}A_{max}=\dfrac{7+2\sqrt{7}}{3}\\A_{min}=\dfrac{7-2\sqrt{7}}{3}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Vì $x^2+y^2+xy=1$ nên \(A=x^2-xy+2y^2=\frac{x^2-xy+2y^2}{x^2+y^2+xy}\)
\(\Rightarrow A(x^2+y^2+xy)=x^2-xy+2y^2(1)\)
\(\Leftrightarrow x^2(A-1)+x(Ay+y)+(Ay^2-2y^2)=0(*)\)
Xét $A\neq 1$ , ta coi $(*)$ là pt bậc 2 ẩn $x$. Vì đẳng thức $(1)$ tồn tại nên pt $(*)$ có nghiệm
\(\Rightarrow \Delta=(Ay+y)^2-4(Ay^2-2y^2)(A-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -3A^2y^2+14Ay^2-7y^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -3A^2+14A-7\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{7-2\sqrt{7}}{3}\leq A\leq \frac{7+2\sqrt{7}}{3}\). So sánh với giá trị $1$ cuối cùng ta thấy \(A_{\min}=\frac{7-2\sqrt{7}}{3}; A_{\max}=\frac{7+2\sqrt{7}}{3}\)