Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
`@ x+y+z=1`.
`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)
`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.
`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`
`=1.`
Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Sửa lại đề: cho x, y, z dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}=1\)
Chứng minh \(A=\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Giải:
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{bc}\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\sqrt{\dfrac{1}{ac}\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{ab}\left(1+\dfrac{1}{c^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Đề bài này có rất nhiều vấn đề, đầu tiên không có điều kiện x, y, z gì cả? Dương? Â? Bằng 0? Khác 0?
Sau nữa là chiều của BĐT cũng có vấn đề nốt, mình thử với \(x=y=2;z=\dfrac{4}{3}\) thì vế trái ra \(\dfrac{2+\sqrt{30}}{5}\) mà theo casio cho biết thì số này nhỏ hơn \(\dfrac{3}{2}\) , vậy BĐT cũng sai luôn
`@ x+y+z=1`.
`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)
`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.
`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`
`=1.`
Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.
\(H=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+xz}=\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\)
Mặt khác,theo AM-GM: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" khi: \(x=y=z=1\)
Lời giải:
Từ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$
$\Rightarrow xy+yz+xz=0$
Khi đó:
$x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=(x^2-xy)-(xz-yz)=x(x-y)-z(x-y)=(x-z)(x-y)$
Tương tự với $y^2+2zx, z^2+2xy$ thì:
$P=\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$
$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=\frac{-[yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)]}{-[xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)]}=1$
Vì \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)(*)
Ta có : \(A=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)
\(\Rightarrow A=xyz\left(\dfrac{3}{xyz}\right)=3\)