MN
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
1
28 tháng 4 2017
theo đề bài ta có (x+y)^2>=1
2(x^2+y^2)>=(x+y)^2>=1
x^2+y^2>=1/2
(x^2+y^2)^2>=1/4
2(x^4+y^4)>=(x^2+y^2)^2>=1/4
x^4+y^4>=1/8(đề bạn ghi thiếu thì phải)
VE
0
26 tháng 12 2016
\(A=\left(x-2+\frac{1}{x}\right)+2y-3=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+2y-3\ge-3\)
\(\left(1\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0\) mọi x>0
\(\left(2\right)2y\ge0\) với mọi y>0
\(\left(3\right)-3\ge-3\) với x,y
(1)+(2)+(3)=> dpcm
Hiểu thì làm tiếp
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
19 tháng 3 2017
PP : biến đổi tương đương
Bài làm
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)
Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )
Vậy..........
CC
19 tháng 5 2017
Câu a.
Ta luôn có
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a+b < a+b+c)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng theo từng vế rồi rút gọn ta đươc đpcm
19 tháng 5 2017
Cảm ơn b nhé. B biết làm.câu b c d không giúp m với
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 2 2019
Lời giải:
Xét hiệu \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-4=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-4\)
\(=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2}{xy}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 0, \forall x,y>0\)
Do đó \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\geq 4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \((x-y)^2=0\Leftrightarrow x=y\)
TV
4
PN
1 tháng 7 2020
Theo bđt cauchy schwarz dạng engel
\(x^2+y^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra \(< =>x=y=\frac{1}{2}\)
1 tháng 7 2020
Theo Bunhiacopski ta có:
\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=1/2
Trình bày khác xíu :))
MÌNH ĐANG CẦN GẤP!!!
Với mọi số thực dương, ta chứng minh BĐT sau:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)