Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
# Bài 1
* Ta cm BĐT sau \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) (1) bằng cách biến đổi tương đương
* Với \(x,y>0\) áp dụng (1) ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{y}\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
Mà \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\le1\) \(\Leftrightarrow\) \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\le1\) (I)
* Ta cm BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (2)
Áp dụng (2) với x , y > 0 ta có
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) (II)
* Từ (I) và (II) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)
Dấu "=" xra khi \(x=y=4\)
Vậy min \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) khi \(x=y=4\)
Lời giải:
Ta có: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{2a}{xy}(1)\)
Theo BĐT Cô-si cho 2 số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\geq 4xy\)
\(\Rightarrow (x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{4a^2}{4}=a^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow x=y=a\)
Ta có : x > 0 ; y > 0. Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel ta có :
\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}\)
=> A đạt GTNN khi \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow x=y=a\)
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(A=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\left(\dfrac{9}{4}x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{9}{4}y+\dfrac{1}{y}\right)-\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)\ge3+3-\dfrac{5}{4}.\dfrac{4}{3}=6-\dfrac{5}{3}=\dfrac{13}{3}\)
Dấu <=> xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{2}{3}\)