Question

[Đỗ Thị Thanh Lương]

Cho x>0,y>0 thỏa mã x+ 1/y=1. chứng minh rằng y +1/x >=4?

Answer 1

[Đỗ Thị Thanh Lương]

x+1/y = 1, ta có: 
+ x=1-1/y (1) 
+ (xy+1)/y=1 => xy+1=y (2) 
y+1/x >=4 
<=> (xy+1)/x >=4 
(1), (2) => y/ (y-1) /y >=4 
<=> y^2/ (y-1) >=4 
<=> y^2 >= 4y -4 
<=> y^2 -4y +4 >=0 
<=> (y-2)^2 >=0 (đúng)

Answer 2

[Songoku Sky Fc11]

Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải : 
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*) 

Áp dụng kết quả đó ta có 
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)] 
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có 
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x) 
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y) 
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy 
Cộng lại ba bdt trên ta sẽ có được điều cần chứng minh