Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)
(do \(x+y\leq 1\) )
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)
Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)
Vậy \(B_{\min}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=1+\dfrac{1}{x^2y^2}-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\) (1)
và \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (2)
TỪ (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x^2y^2}\ge\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}\) và \(\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Mặt khác, theo đề \(x+y\le1\)
=> \(\dfrac{1}{x+y}\ge1\)
=> A \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}+\dfrac{2}{xy}\) \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}-\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
\(=1+16-8=9\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 0,5
Mình đánh nhầm, dòng 2 từ dưới lên phải là \(-\dfrac{2}{xy}\) nhá ! :))
chat lop 8.
x+y=1
(x-y)^2 ≥0
x^2+y^2-2xy ≥0
x^2+y^2≥2xy
x^2+y^2+2xy≥2xy+2xy
(x+y)^2≥4xy
1≥4xy
xy≤1/4
x,y>0=>xy>0
<=>1/xy≥4
(x+y)/xy≥4 ™#{1=x+y}!
1/y+1/x≥4
1/x+1/y≥4
Áp dụng BĐT Cô - si dạng Engel , ta có :
\(A=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{1}=4\)
⇒ AMIN = 4 ⇔ x = y = \(\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(6=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{xy^2z^3}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{xy^2z^3}\leq 1\Leftrightarrow xy^2z^3\geq 1\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(A=x+y^2+z^3\geq 3\sqrt[3]{xy^2z^3}\geq 3\sqrt[3]{1}=3\)
Vậy \(A_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\ x=y^2=z^3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có: \(xy\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{1}{4}\times1^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x^2y^2\le\dfrac{1}{16}\)
\(A=\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+1+1+\dfrac{1}{x^2y^2}\)
\(\ge\dfrac{1}{16}+1+1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 0,5
Vậy Min A = 18,0625 <=> x = y = 0,5
mình khẳng định cách làm này chắc chắn đúng
A=(x2 +1/y2)(y2 +1/x2)=(xy)2+\(\dfrac{1}{xy^2}\)+2
ta có x+y=1 mà x+y \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)nên 1 \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)
nên 1/2 \(\ge\)\(\sqrt{xy}\) =>1/4\(\ge\)xy=>\(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)(xy)2
sau đó ta sử dụng phương pháp chọn điểm rơi để thêm bớt cho phù hợp.
ta thấy gtnn xảy ra <=>x=y=1/2 hay (xy)2=1/16
để bảo toàn cho giá trị nhỏ nhất xảy ra với điều kiện đè bài đã cho là x+y=1 thì ta đặt hằng số \(\alpha\)sao cho:
đặt \(\dfrac{\alpha}{xy^2}\)=xy2
cho xy2=\(\dfrac{1}{16}\)thì\(\alpha\)=\(\dfrac{1}{256}\)
ta có lời giải A=(\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\))+(\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy2)+2
áp dụng bất đẳng thức cosy a2+b2\(\ge\)2ab ta có
\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy2\(\ge\)2\(\dfrac{\dfrac{1}{16}}{xy}\).xy=\(\dfrac{1}{8}\)
ta đã chứng minh \(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)xy2 nên ta có
\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)=\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{xy2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{\dfrac{1}{16}}\)=\(\dfrac{255}{16}\)
nên A\(\ge\)\(\dfrac{1}{8}\)+\(\dfrac{255}{16}\)+2=\(\dfrac{289}{16}\)
dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=\(\dfrac{1}{2}\)
vậy min A=\(\dfrac{289}{16}\)tại x=y=\(\dfrac{1}{2}\)
Cho x,y >=0 và x+y=1
Tìm GTNN của A= \(\left(\dfrac{x+1}{y}\right)^2+\left(\dfrac{y+1}{x}\right)^2\)
\(A=\left(\dfrac{x+1}{y}\right)^2+\left(\dfrac{y+1}{x}\right)^2\)
\(A=\left(\dfrac{x+x+y}{y}\right)^2+\left(\dfrac{y+x+y}{x}\right)^2\)
\(A=\left(\dfrac{2x}{y}+1\right)^2+\left(\dfrac{2y}{x}+1\right)^2\)
\(A=\dfrac{4x^2}{y^2}+\dfrac{4x}{y}+1+\dfrac{4y^2}{x^2}+\dfrac{4y}{x}+1\)
\(A\ge8+8+2=18\)
\(\Rightarrow MINA=18\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
\(M=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}=8\)
\(\Rightarrow M_{min}=8\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)