Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Vì x>0, y>0 nên xy>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương
\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)
Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2\right)\ge8\)
Lại có : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{2^2}=1\)
Do đó : \(P=4\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{xy}\ge8+1=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Lời giải:
Ta có \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\). Vì \(x,y>0;x\geq 2y\Rightarrow t=\frac{x}{y}\geq 2\)
Ta cần đi tìm min \(M=t+\frac{1}{t}\) với \(t\geq 2\)
Áp dụng BĐT AM-GM
\(M=\frac{3t}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{t}\geq \frac{3t}{4}+2\sqrt{\frac{1}{4}}\geq \frac{3t}{4}+1\)
Mà \(t\geq 2\Rightarrow M\geq \frac{3}{4}.2+1\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=2y\)