Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}=x\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z+1}{4}\ge y\\\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+1}{4}\ge z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{3}{4}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{2}=1,5\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge1,5\) (đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Sửa: =>\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2.y^2.z^2}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)
Ta có: xyz=1 và x,y,z >0
\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow x+1\le2\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Tương tự \(\dfrac{1}{y+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
Sửa đề: CMR: \(\dfrac{\left(x+y+z\right)^6}{xy^2z^3}\ge432\)
Ta có
\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^6}{xy^2z^3}\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\right)^6}{xy^2z^3}\)
\(\ge\dfrac{\left(6\sqrt[6]{x.\dfrac{y}{2}.\dfrac{y}{2}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}\right)^6}{xy^2z^3}=\dfrac{6^6.\dfrac{xy^2z^3}{2^2.3^3}}{xy^2z^3}=\dfrac{6^6}{2^2.3^3}=432\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\)
+,3 = x + y + z \(\ge\) \(3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le1\)
+, P \(\ge\) \(3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\ge\dfrac{3}{\dfrac{x+y+z+3}{3}}=\dfrac{3}{2}\)
\(2=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{4}{4z}\ge\dfrac{\left(1+1+2\right)^2}{x+y+4z}\ge\dfrac{16}{x+y+2z^2+2}\\ \Rightarrow x+y+2z^2+2\ge8\\ \Rightarrow x+y+2z^2\ge6\)
đáp án hay quá bạn ơi