Question

[Diễm Như]

Cho x , y, z là các số thực dương , cm :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)

Hộ mình với !!

Answer 1

[T.Ps]

#)Giải :

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được : 

\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Phạm Thị Thùy Linh]

Ta thấy : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

Mà : \(x^2+y^2=1\)\(\Rightarrow2xy\le1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\le1+1\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow|x+y|\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)\(\left(đpcm\right)\)