Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu a+b+c = 0 hoặc a =b=c thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Sử dụng tính chất trên ta được :
( x - y )^3 + ( y -z )^3 + ( z - x )^3 = 3( x -y )(y -z )( z -x )
Nếu x ,y, z có cùng số dư khi chia cho 3 =>
x-y , y- z , z - x :/ 3 ( :/ là kí hiệu chia hết )
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
,G/S trong ba số x,y,z ko có số nào có cùng số dư khi chia hết cho 3
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) ko chia hết cho 3
Từ G/S => x,y,z chia 3 sẽ có 3 số dư là 0,1,2
=> x+y +z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 ( Vô lý )
Vậy trong ba số x,y,z có hai số có cùng số dư khi chia cho 3 . G/S đó là x,y
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 => x +y +z :/3
1,Nếu x,y :/ 3 => z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
2,Nếu x,y chia 3 dư 1 , x+y+z :/3 => z chia 3 dư 1 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
3,Nếu x,y chia 3 dư 2 , x+y + z :/3 => z chia 3 dư 2 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27
Tóm lại 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 hay M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 :/ 27
tích nha
+, Nếu cả 3 số x,y,z khi chia 3 đều khác dư thì :
x+y+z chia hết cho 3
(x-y).(y-z).(z-x) ko chia hết cho 3
=> ko t/m
+, Nếu trong 3 số x,y,z có 2 số chia cho 3 cùng dư , 1 số chia cho 3 khác dư 2 số còn lại thì :
x+y+z ko chia hết cho 3
(x-y).(y-z).(z-x) chia hết cho 3
=> ko t/m
=> cả 3 số x,y,z chia cho 3 đều có cùng dư
=> x-y;y-z;z-x đều chia hết cho 3
=> (x-y).(y-z).(z-x) chia hết cho 27
=> x+y+z chia hết cho 27
=> ĐPCM
Tk mk nha
\(60=3.4.5\)
Ta cần chứng minh xyz chia hết cho 3 ; 4 và 5
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z đều không chia hết cho 3
Khi đó x ; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x2 ; y2 và z2 chia cho 3 dư 1
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 3 )
Vô lí vì \(z^2\equiv1\) ( mod 3 )
Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3, do đó \(xyz⋮3\) ( 1 )
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 4
Khi đó x ; y và z chia cho 4 dư 1 ; 2 hoặc 3
- TH1 : Cả x ; y và z lẻ => x2 ; y2 và z2 chia 4 dư 1
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại )
- TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4
- TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ
+) Với x ; y lẻ thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại do z chẵn nên \(z^2\equiv0\) ( mod 4 ) )
+) Với x ; z lẻ thì \(y^2=z^2-x^2\equiv\left(z-x\right)\left(z+x\right)\) .Ta có bảng sau :
| z | x | z- |
| 4m + 1 | 4n + 1 | 4( m - n ) |
| 4m + 3 | 4n + 1 | 4 ( n - n ) + 2 |
Các trường hợp khác tương tự
Ta luôn có \(y^2=\left(z-x\right)\left(z+x\right)⋮8\) . Trong khi đó y2 không chia hết cho 4 nhưng lại chia hết cho 8 => Mâu thuẫn
Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 \(\Rightarrow xyz⋮4\) ( 2 )
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 5
Khi đó x ; y và z chia cho 5 dư 1 ; 2 ; 3 hoặc 4 => x2 ; y2 và z2 chia cho 5 dư 1 hoặc -1
- TH1 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv2\) ( mod 5 ) ( loại )
- TH2 : \(x^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ( loại )
- TH3 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv0\) ( mod 5 ) ( loại )
Vậy tồn tại ít nhất một số chia hết cho 5 \(\Rightarrow xyz⋮5\) ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow xyz⋮3.4.5=60\left(đpcm\right)\)
+) Th1: nếu 3 số x;y;z có cùng số dư khi chia cho 3 => x - y ; y - z; z - x chia hết cho 3
=> Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 =27
+) Th2: Nếu có 2 trong 3 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử hai số đó là x; y.
*Nếu x; y chia cho 3 dư 0 => x - y chia hết cho 3
mà (x - y)(y - z)(z -x) = x+ y + z => x+ y + z chia hết cho 3 => z chia hết cho 3
=> (y - z); (z - x) chia hêtw cho 3 => tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 = 27
* Nếu x; y chia cho 3 dư 1 => x - y chia hết cho 3 => x+ y + z chia hết cho 3. mà x + y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 1
=> x; y ; z chia cho 3 có cùng số dư => Tích (x - y)(y - z)(z-x) chia hết cho 27
* Tương tự, nếu x; y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 2 => Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 27
=> x+ y + z chia hết cho 27
+) Th3: Cả số x; y ; z không có cùng số dư khi cho 3
=> x; y; z chia cho 3 dư là 0;1 ; 2 và các hiệu x - y ; y - z; z - x không chia hết cho 3
x; y ;z chia cho 3 dư 0; 1;2 => x+ y + z chia hết cho 3
tích (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3 mà (x - y)(y - z)(z - x) = x+ y + z
=> Th3 không xảy ra
Vậy ....
+) Th1: nếu 3 số x;y;z có cùng số dư khi chia cho 3 => x - y ; y - z; z - x chia hết cho 3
=> Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 =27
+) Th2: Nếu có 2 trong 3 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử hai số đó là x; y.
*Nếu x; y chia cho 3 dư 0 => x - y chia hết cho 3
mà (x - y)(y - z)(z -x) = x+ y + z => x+ y + z chia hết cho 3 => z chia hết cho 3
=> (y - z); (z - x) chia hêtw cho 3 => tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 = 27
* Nếu x; y chia cho 3 dư 1 => x - y chia hết cho 3 => x+ y + z chia hết cho 3. mà x + y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 1
=> x; y ; z chia cho 3 có cùng số dư => Tích (x - y)(y - z)(z-x) chia hết cho 27
* Tương tự, nếu x; y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 2 => Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 27
=> x+ y + z chia hết cho 27
+) Th3: Cả số x; y ; z không có cùng số dư khi cho 3
=> x; y; z chia cho 3 dư là 0;1 ; 2 và các hiệu x - y ; y - z; z - x không chia hết cho 3
x; y ;z chia cho 3 dư 0; 1;2 => x+ y + z chia hết cho 3
tích (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3 mà (x - y)(y - z)(z - x) = x+ y + z
=> Th3 không xảy ra
VẬY
Chị sợ e kh hỉu nên chỵ làm dài dòng xíu nha. em hỉu r thi thu gọn lại bỏ bớt mấy chỗ k cần thiết
1. Vì p nguyên tố và p>3 => p không chia hết cho 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p = 3k+1 =>(p-1).(p+1) =(3k+1-1).(3k+1+1)= 3k(3k+2)
Vì 3k chia hết 3 => 3k(3k+2) chia hết cko 3. Hay(p-1).(p+1) ckia hết cho 3 (1)
Tương tự p=3k+2 =>p+1 = 3k+3 chia hết cho 3 =)( p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
từ (1),(2) => (p-1)(p+1) chia het cho 3
Vì p nto và p >3 => p lẻ => p = 2h+1
Ta có (p-1).(p+1)= (2h+1-1)(2h+1+1)= 2h(2h+2)
Mà 2h và 2h+1 là tích 2 số chẵn liên tiếp => 2h(2h+2) chia hết cho 8
Mà (3,8)=1 => (p-1)(p+1) chia hết cho 24