Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A\le\sqrt{3\left(x+y+y+z+z+x\right)}=\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\le\sqrt{6.\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}\)
\(A_{max}=\sqrt{6\sqrt{3}}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Do \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge x^2+y^2+z^2=1\)
\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{z^2+xy+yz+zx}\)
\(A^2\ge2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2}+2\sqrt{y^2}+2\sqrt{z^2}=4\left(x+y+z\right)\ge4\)
\(\Rightarrow A\ge2\)
\(A_{min}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Đặt \(\sqrt{\text{x}}-\sqrt{y}=a\); \(\sqrt{y}-\sqrt{z}=b\); \(\sqrt{z}-\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\). Ta sẽ chứng minh : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta có : \(a+b+c=0\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\Rightarrow a^3=-\left(b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3=-\left[b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\right]\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3bc\left(-a\right)=3abc\)
Mặt khác, ta lại có : \(a^3+b^3+c^3=0\left(gt\right)\Rightarrow3abc=0\Rightarrow abc=0\)
\(\Rightarrow a=0\)hoặc \(b=0\)hoặc \(c=0\)
Tu do de dang giai tiep bai toan!
Ta có \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)
\(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)\le6\sqrt{2}\)
Ta lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Theo đề bài ta có
\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le3\sqrt{2}+9\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a, ta có \(\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\le3\left(2x+2y+2z\right)=6\)
=> A\(\le\sqrt{6}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z=1/3
max=căn 66
áp dụng bất đẳng thức cô si là ra
tích cho nha
Áp dụng bđt côsi ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(x+y\right)4}\le\frac{x+y+4}{2}\left(1\right)\\\sqrt{\left(z+y\right)4}\le\frac{y+z+4}{2}\left(2\right)\\\sqrt{\left(z+x\right)4}\le\frac{z+x+4}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:
\(2P\le x+y+z+6=12\)
\(\Leftrightarrow p\le6\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)
Vậy \(P_{max}=6\)\(\Leftrightarrow x=y=z=2\)