Question

[Nấm Nấm]

Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:           P = \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

Lời giải :

\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow P+3=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1\)

\(\Leftrightarrow P+3=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow P+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(P+3\right)=\left(x+y+y+z+z+x\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)

Do đó :

\(2\left(P+3\right)\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\cdot3\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)

\(\Leftrightarrow2P+6\ge9\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

___

p/s: BĐT còn gọi là BĐT Nesbitt. Có nhiều cách chứng minh, bạn có thể lên gg tìm hiểu.

Answer 2

[Lê Tài Bảo Châu]

xin thêm 1 cách 

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z>0\\b=z+x>0\\c=x+y>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c-a}{2}\\y=\frac{a+c-b}{2}\\z=\frac{a+b-c}{2}\end{cases}}\)Thay vào P ta được:

\(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}\)

\(=\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a}-\frac{1}{2}+\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}-\frac{1}{2}+\frac{a}{2c}+\frac{b}{2c}-\frac{1}{2}\)

\(=\left(\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b}\right)+\left(\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}\right)+\left(\frac{b}{2c}+\frac{c}{2b}\right)-\frac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2a}.\frac{a}{2b}}=1\)

CMTT\(P\ge3-\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)