Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2m-1\left(1\right)\\x^2+y^2=m^2+2m-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=m^2+2m-3\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-m^2-2m+3=2xy\)
\(\Leftrightarrow2xy=3m^2-6m+4\)
\(P_{min}\Leftrightarrow3m^2-6m+4\left(min\right)\)
\(3\left(m^2-2m+\dfrac{4}{3}\right)=3\left(m^2-2m+1+\dfrac{1}{3}\right)=3\left[\left(m-1\right)^2+\dfrac{1}{3}\right]=3\left(m-1\right)^2+1\ge1\)
\("="\Leftrightarrow m=1\)
- Từ PT ( II ) ta có : \(xy\left(x+y\right)=2xy=4m^2-2m\)
\(\Rightarrow xy=2m^2-m\)
- Hệ PT trên có nghiệm là nghiệm của PT :
\(x^2-2x+2m^2-m=0\) ( I )
Có : \(\Delta^,=b^{,2}-ac=1-\left(2m^2-m\right)=-2m^2+m-1\)
- Để PT ( i ) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta^,>0\)
\(\Leftrightarrow-2m^2+m-1>0\)
Vậy không tồn tại m để hệ phương trình có nghiệm .
Phương trình (i) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta\geq 0$ chứ không phải $>0$ bạn nhé.
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:
\(t^2-3m.t+m=0\) (1)
Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:
TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)
\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)
TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)
\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)
2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)
Ko tồn tại m thỏa mãn
Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} x+xy+y=2m+1\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2m+1-(x+y)\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\Rightarrow [2m+1-(x+y)](x+y)=m^2+m\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2-t(2m+1)+m^2+m=0\)
Để pt có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì $t$ phải là duy nhất. Do đó:
\(\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=0\Leftrightarrow 1=0\)
(vô lý)
Do đó không tồn tại m để hệ có bộ nghiệm duy nhất.
Dạng này làm như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}\right.\)
Sau đó biến đổi về phương trình bậc 2 theo ẩn S
Để hệ ban đầu có nghiệm duy nhất thì trước hết phương trình theo ẩn S có nghiệm duy nhất hoặc có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm không thuộc tập xác định của hệ phương trình theo ẩn S, P. Đây mới chỉ là điều kiện cần.
Sau đó thế các nghiệm của S, P vào hệ rồi giải ra xem thử có nghiệm x, y hay không. Đây là điều kiện đủ. Xong 2 cái này thì mới kết luận là hệ có nghiệm duy nhất với m = ????
1.
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1+2m=0\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\Rightarrow t^2-1-2mt+2m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)-2m\left(t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1-2m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(loại\right)\\t=2m-1\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1\ge2\\2m-1\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{2}\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
2.
Cộng vế với vế: \(3\left|x\right|=3\Rightarrow\left|x\right|=1\)
\(\Rightarrow\left|y\right|=-1< 0\) (không thỏa mãn)
Vậy hệ pt vô nghiệm
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\y\ge-3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{y+3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2+b^2-3=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(m-a\right)^2=2m\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-2m=0\) (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm không âm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\\a_1+a_2=m\ge0\\a_1a_2=\dfrac{m^2-2m}{2}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le4\\m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\2\le m\le4\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, x và y là nghiệm của pt:
\(t^2-\left(m+1\right)t+m^2-2m+2=0\)
Để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow-3m^2+10m-7\ge0\Rightarrow1\le m\le\frac{7}{3}\)
Khi đó ta có: \(F=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(F=\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-2m+2\right)\)
\(=-m^2+6m-3\)
Xét hàm \(f\left(m\right)=-m^2+6m-3\) trên \(\left[1;\frac{7}{3}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=3\notin\left[1;\frac{7}{3}\right]\) ; \(f\left(1\right)=2\) ; \(f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{50}{9}\)
\(\Rightarrow F_{max}=\frac{50}{9}\) khi \(m=\frac{7}{3}\)
\(F_{min}=2\) khi \(m=1\)