K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 4 2022

Ta có \(A=\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)Lại có \(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\) (vì \(x+y=1\))

Và \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow2xy\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2xy}\ge2\)

Do đó \(A\ge3.4+2=14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của A là 14 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

 

28 tháng 4 2022

Giúp mình câu này với ah. 

 

28 tháng 4 2022

a Ah box môn TA đâu gòi:)?

(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy

Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1

=>Min=2

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2022

Đề có vẻ không đầy đủ lắm. Bạn coi lại. 

8 tháng 6 2023

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)

\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)

Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Ta có:

\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)

\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\) 

Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24

21 tháng 8 2021

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)+\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)-4\left(x+y\right)+8\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}+2\sqrt{\dfrac{y^2}{x-1}.4\left(x-1\right)}-4\left(x+y\right)+8\)

\(\ge4\left(x+y\right)-4\left(x+y\right)+8=8\)

\(\Rightarrow P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=2\)

NV
21 tháng 8 2021

\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\) ; \(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)

Cộng vế:

\(P+4\left(x+y\right)-8\ge4\left(x+y\right)\Rightarrow P\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2023

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{x}+\frac{8}{9y}+\frac{18}{25z}\right)(x+y+z)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{\frac{8}{9}}+\sqrt{\frac{18}{25}})^2\)

$\Leftrightarrow A.2\geq \frac{2312}{225}$

$\Leftrightarrow A\geq \frac{1156}{225}$

Vậy $A_{\min}=\frac{1156}{225}$

NV
12 tháng 11 2021

Chắc đề đúng là số dương, vì ko tồn tại x;y nguyên dương thỏa mãn x+y=1

\(A=\dfrac{y^2}{xy+y}+\dfrac{x^2}{xy+x}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

NV
27 tháng 4 2021

\(K=\left(4xy+\dfrac{1}{4xy}\right)+\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{5}{4xy}\)

\(K\ge2\sqrt{\dfrac{4xy}{4xy}}+\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge2+4+5=11\)

\(K_{min}=11\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)