Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(40=5.8,\left(5,8\right)=1\)nên ta sẽ chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\)và \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Giả thiết tương đương với: \(3x^2-2y^2=1\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\).
Dễ thấy \(x\)lẻ nên \(x=2k+1\Rightarrow x^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\equiv1\left(mod8\right)\).
Do đó \(3x^2\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow2y^2+1\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow y^2\equiv1\left(mod8\right)\).
\(\Rightarrow x^2-y^2⋮8\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Số chính phương khi chia cho \(5\)dư \(0,1,4\)do đó: \(3x^2\equiv0,3,2\left(mod5\right)\), \(2y^2\equiv0,2,3\left(mod5\right)\).
Để \(3x^2-2y^2=1\equiv1\left(mod5\right)\)thì \(3x^2\equiv3\left(mod5\right),2y^2\equiv2\left(mod5\right)\)
khi đó \(x^2\equiv1\left(mod5\right),y^2\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow x^2-y^2⋮5\).
Từ đây ta có đpcm.
anh cho em kết bạn với anh để có thể hỏi cho dễ được không anh,trước giờ anh giúp em nhiều qúa mà em cũng không biết cảm ơn thế nào
Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1
=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng
Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)
Tương tự:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
\(x^4y+x^2y-x^2y=x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y.\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2y\left(x^2+1\right)-x^2y}{\left(x^2+1\right)}=x^2y-\frac{x^2y}{\left(x^2+1\right)}\\\frac{y^2z\left(y^2+1\right)-y^2z}{\left(y^2+1\right)}=y^2z-\frac{y^2z}{\left(y^2+1\right)}\\\frac{z^2x\left(z^2+1\right)-z^2x}{\left(z^2+1\right)}=z^2x-\frac{z^2x}{\left(z^2+1\right)}\end{cases}}Vt\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{x^2y}{x^2+1}+\frac{y^2z}{y^2+1}+\frac{z^2x}{z^2+1}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+1\ge2y\\z^2+1\ge2z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{x^2y}{x^2+1}\ge\frac{x^2y}{2x}=\frac{xy}{2}\\\frac{y^2z}{2y}=\frac{yz}{2}\\\frac{z^2x}{2z}=\frac{xz}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)}\)
\(x^2y+y^2z+z^2x\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3\)
\(VT\ge3-\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{2}\)
t chỉ làm dc đến đây thôi :))
Từ \(VT\ge x^2y+y^2z+z^2x-\left(\frac{xy+yz+zx}{2}\right)\)ta có:
\(x^2y+x^2y+y^2z=x^2y+x^2y+\frac{y}{x}\ge3xy\)(áp dụng BĐT Cauchy)
Tương tự : \(y^2z+y^2z+z^2x\ge3yz\); \(z^2x+z^2x+x^2y\ge3zx\)
Cộng vế theo vế suy ra : \(3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1
lam thế nao vậy?
ko hỉu