Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với \(x=y=2\) thì \(Q=\dfrac{10}{3}\)
Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{10}{3}\) là GTNN của \(Q\)
Thật vậy: \(\dfrac{\left(x+y+2\right)^2}{xy+2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+2\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\ge\dfrac{10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-xy-2x+y^2-2y+4\right)\left(3x^2+5xy+10x+3y^2+10y+12\right)}{3\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\left(2x-y-2\right)^2+3\left(y-2\right)^2\right)\left(3x^2+5xy+10x+3y^2+10y+12\right)}{12\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng với \(x;y>0\)
Vậy \(Q_{Min}=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow x=y=2\)
Quỳnh Hoa Lenka: Cách của mình đúng và được chấp nhận khi thi nhé :) cho nên mình cũng ko đòi hòi 1 lời giải nào hơn
\(P=\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
Ta có : \(\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=4\) (áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\))
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge2\)(Suy ra từ \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\))
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Vậy MIN P = 6
2
\(A=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{9x^2-6x+1}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt{\left(3x-2\right)^2}=\left|3x-1\right|+\left|3x-2\right|\)
ta có |3x-1|+|3x-2|=|3x-1|+|2-3x| ≥ |3x-1+2-3x|=1
=> A ≥ 1
=> Min A =1 khi 1/3 ≤ x ≤ 2/3
Từ đề bài ta có:
\(2\sqrt{xy}\le x+y=1\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)
Ta có:
\(P=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=\dfrac{1-x^2-y^2+x^2y^2}{x^2y^2}\)
\(=1+\dfrac{-\left(x+y\right)^2+2xy+1}{x^2y^2}\)
\(=1+\dfrac{2}{xy}\ge1+8=9\)
Vậy GTNN là A = 9 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
from giả thiết => x+y+z=xyz
biến đổi như sau:\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
=\(\sqrt{\dfrac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)
\(S=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
\(=\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{2xy+x^2+y^2}{xy}\)
\(=1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+2+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=3+\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\right)+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\)
Theo BĐT cô - si ta có :
\(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\dfrac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)2xy}}=2\)
\(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge\dfrac{2xy}{2xy}=1\)
Do đó \(S\ge3+2+1=6\)
Vậy GTNN của \(S=6\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)
bạn ơi! dấu bằng xảy ra phải là khi x=y đúng không?