Câu hỏi của Nguyễn Thị Bình Yên

Question

Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm min H = $\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\cdot\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)$

Mashiro Shiina · Accepted Answer

$\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}$

Áp dụng bđt AM-GM và bđt Cauchy-Schwarz:

$x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{16x^2y^2}+\frac{15}{16x^2y^2}$

$\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{16x^2y^2}}+\frac{15}{16x^2y^2}=8+\frac{15}{16x^2y^2}$

Ta có: $xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\Rightarrow16x^2y^2\le1\Rightarrow\frac{15}{16x^2y^2}\ge15$

$\Rightarrow8+\frac{15}{16x^2y^2}\ge23$

$"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$Câu trả lời: $\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}$

Áp dụng bđt AM-GM và bđt Cauchy-Schwarz:

$x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{16x^2y^2}+\frac{15}{16x^2y^2}$

$\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{16x^2y^2}}+\frac{15}{16x^2y^2}=8+\frac{15}{16x^2y^2}$

Ta có: $xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\Rightarrow16x^2y^2\le1\Rightarrow\frac{15}{16x^2y^2}\ge15$

$\Rightarrow8+\frac{15}{16x^2y^2}\ge23$

$"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Phạm Hoàng Hải Anh · Answer

bạn thay x=1-y rồi thay vào H sau đó làm bình thường nhéCâu trả lời: bạn thay x=1-y rồi thay vào H sau đó làm bình thường nhé