Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{4\left(x+y+\sqrt{xy}\right)}{x+y+2\sqrt{xy}}=\frac{3\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)+\left(x+y-2\sqrt{xy}\right)}{\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)}=\frac{3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}+3\ge3\)
=> \(A\ge3\)
Vậy Min A = 3 khi x=y
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
Đặt Q = \(\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}\) = \(\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
Q = \(\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\) = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
Q = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}\) = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2=}2xy\)
\(\Leftrightarrow\)Q = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)Q = \(\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)= \(1\)
Đẳng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\Rightarrow\\xy=4\end{cases}x=y=2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 \(\Leftrightarrow x=y=2\)
CMR: \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2021}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2021}⋮4\)
đặt \(a=2+\sqrt{3}\); \(b=2-\sqrt{3}\)
suy ra: \(a+b=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\)
và : \(ab=\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=1\)
Ta có: \(a^{2021}+b^{2021}=\left(a+b\right)\left(a^{2020}-a^{2019}b+a^{2018}b^2-...+a^{1010}b^{1010}-...-ab^{2019}+b^{2020}\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^{2020}-a^{2018}ab+a^{2016}a^2b^2-...+a^{1010}b^{1010}-...-abb^{2018}+b^{2020}\right)\)
Vì \(a+b=4\);\(ab=1\)nên:
\(a^{2021}+b^{2021}=4\left(a^{2020}-a^{2018}+a^{2016}-...+1-...-b^{2018}+b^{2020}\right)\)
\(=4\left(a^{2020}+b^{2020}-\left(a^{2018}+b^{2018}\right)+a^{2016}+b^{2016}-...+1\right)\)
\(=4\left(\left(a+b\right)^{2020}-2\left(ab\right)^{1010}-\left(a+b\right)^{2018}+2\left(ab\right)^{1009}+\left(a+b\right)^{2016}-2\left(ab\right)^{1008}-...+1\right)\)\(=4\left(4^{2020}-2-4^{2018}+2+4^{2016}-2-...+1\right)\)
\(=4S\)(Với \(S\inℕ^∗\))
suy ra \(a^{2021}+b^{2021}=4S⋮4\)
Vậy \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2021}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2021}⋮4\left(đpcm\right)\)
chịu thua vô điều kiện xin lỗi nha : v
muốn biết câu trả lời lo mà sệt trên google ấy đừng có mà dis:v
\(A=\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}{z}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(x+\sqrt{yz}\right)^2\)
Tương tự \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\ge\left(y+\sqrt{xz}\right)^2\)
\(\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+\sqrt{xz}\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\)
hay \(A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Đặt \(M=\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Ta có \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a^2,b^2,c^2\right)\)
Khi đó \(M=\frac{a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM ta có
\(a^5b^3+a^3b^5\ge2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)
\(b^5c^3+b^3c^5\ge2\sqrt{b^8c^8}=2b^4c^4\)
\(a^5c^3+a^3c^5\ge2\sqrt{a^8c^8}=2a^4c^4\)
Cộng từng vế ta được
\(a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)\ge2\left(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\right)\)
\(\ge2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2019}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2019}}{3}\)
Bằng bước biến đổi \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\)ta có cách giải sau
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM,ta có: \(P=\frac{\left(x+y\right)^2+xy}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}\ge\frac{2\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi \(\left(x+y\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=0\)
Cơ mà nếu vậy thì P không có giá trị nhỏ nhất à, hay là em làm sai
Đổi tên biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với cách phần đặt biến phụ nha!
Biểu thức đối xứng 2 biến x, y là em nghĩ đến cách đặt \(S=x+y;P=xy\Rightarrow S^2\ge4P\).(đẳng thức xảy ra khi x = y)
Có: \(M=\frac{S^2+P}{S\sqrt{P}}=\frac{S}{\sqrt{P}}+\frac{\sqrt{P}}{S}\). Đặt \(t=\frac{S}{\sqrt{P}}=\sqrt{\frac{S^2}{P}}\ge\sqrt{\frac{4P}{P}}=2\). Quy về tìm min biểu thức:
\(M=t+\frac{1}{t}\left(t\ge2\right)\). Đến đây có 2 cách:
+) Cách 1: \(t+\frac{1}{t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{t}+\frac{3t}{4}\ge2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}}+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi ... (anh tự giải nhá:3)
+) Cách 2: \(t+\frac{1}{t}=t+\frac{4}{t}-\frac{3}{t}\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Vậy...