HP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
N
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
TB
0
29 tháng 12 2019
\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{5}{4xy}+2016\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\). Dấu "=" khi a=b (bạn tự chứng minh)
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Vì x>0, y>0 nên xy>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương
\(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}=2\)
Ta có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{5}{4xy}\ge5\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\\frac{1}{4xy}=4xy\\x=y\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow Q\ge4+2+5+2016=2027\)
Vậy \(minQ=2027\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
15 tháng 9 2017
Áp dụng bất đẳng thức: x2 + a2y2 \(\ge\)2axy, ta có:
\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(xy+yz+zx\right)\le\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(x^2+y^2\right)+\left[y^2+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2x^2\right]+\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2z^2+x^2\right]}{2}\)=
\(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)\left(x^2+y^2\right)+2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2z^2}{2}\)
15 tháng 9 2017
\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{5}\right)\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(x^2+y^2\right)+\left(3+\sqrt{5}\right)z^2\)\(\Rightarrow x^2+y^2-2z^2\ge\sqrt{5}-1\)\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}-1\)
Vậy GTNN của P là \(\sqrt{5}-1\)khi \(x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}z.\)
TT
Cho x,y > 0. Tìm GTNN của:
a) x2 + y2 + \(\dfrac{1}{xy}\) với x + y = 2
b) x + y + \(\dfrac{1}{xy}\)
1
KB
16 tháng 2 2019
a ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x^2+y^2+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{2^2}{4}}=2+1=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
b ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x+y+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{xy.\dfrac{1}{xy}}=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y=y^2x=1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3=1\Leftrightarrow xy=1\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
TD
1
MN
12 tháng 3 2019
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\left(xy=1\Rightarrow2xy=2\right).\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\frac{2\left(x-y\right)}{x-y}}=2\sqrt{2}\)