Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(A^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\le x+y+12+x+6+y+6=2A+24\)
\(\Rightarrow A^2-2A-24\le0\Rightarrow\left(A-6\right)\left(A+4\right)\le0\Rightarrow A\le6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=3\)
\(P=\frac{3x-6\sqrt{x}+7}{2\sqrt{x}-2}+\frac{y-4\sqrt{x}+10}{\sqrt{y}-2}\)
\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{4}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{6}{\sqrt{y-1}}\)
\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{3}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{4}{\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{4}{2\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(\ge2.\sqrt{\frac{3}{2}.\frac{3}{2}}+2\sqrt{4}+\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-3\right)}\)
\(=3+4+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 4 và y = 16
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Ta có: Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x+y\ge0\\x,y\ge-6\end{cases}}\)
\(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\)
\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+y+12\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le2\left(P+12\right)\)
\(\Rightarrow P^2-2P-24\le0\)
\(\Rightarrow-4\le P\le6\)so sánh với điều kiện thì ta có
\(\Rightarrow0\le P\le6\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow P^2=P+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)
\(\Leftrightarrow P^2-P-12=2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P\le-3\left(l\right)\\P\ge4\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow4\le P\le6\)
Vậy GTNN là \(P=4\) khi \(\hept{\begin{cases}x=10\\y=-6\end{cases}or\hept{\begin{cases}x=-6\\y=10\end{cases}}}\)
GTLN là \(P=6\) khi \(x=y=3\)
3 đó bạn