N
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 6 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
TQ
13 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
16 tháng 4 2019
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
S1
16 tháng 4 2019
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
DT
1
PM
17 tháng 3 2018
ta cm BĐT x^2 + y^2 + z^2 \(\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
bằng cách biến đổi tương đương
rồi áp dụng
HT
1
13 tháng 1 2018
Đặt \(A=x^3+y^3+xy\)
\(\Rightarrow A=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\)
Thay \(x+y=1\)vào biểu thức trên, ta có:
\(A=1-3xy+xy=1-2xy\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow1-2xy\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) (đpcm).
AR
1
25 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )
Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)
đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)
ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
25 tháng 5 2019
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng ta được
\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))
Khi đó
\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1
Lưu ý
Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)
Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra
23 tháng 2 2019
\(taco:\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(dpcm\right)\)
^^
T
23 tháng 2 2019
Mình giải lại bài này cho đầy đủ hơn nhé: (nãy chỉ là hướng dẫn thôi)
Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{x^2+x}\ge-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) (1).Thật vậy,xét hiệu hai vế,ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(3x+4\right)\left(x-1\right)^2}{4\left(x^2+x\right)}\ge0\)
Suy ra \(VT\ge VP\).Vậy (1) đúng.
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế,ta có:
\(VT\ge-\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{5}{4}.3=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
CK
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2019
\(A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{3x^2-3x+3}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x^2+x+1+2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\\x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\Rightarrow\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge0\) \(\forall x\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\) \(\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Áp dụng BĐT cosi:
`x+9/x>=6`
`=>x+1/x`
`=x+9/x-8/x>=6-8/x`
Vì `x>=3=>8/x<=8/3`
`=>6-8/x>=6-8/3=10/3`
Dấu "=" `<=>x=3`