\(\dfrac{4}{x-3}\)

">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

\(Q=\dfrac{4}{x-3}+x-3+5>=2\cdot\sqrt{\dfrac{4}{x-3}\cdot\left(x-3\right)}+5=2\cdot2+5=9\)

Dấu = xảy ra khi (x-3)^2=4

=>x-3=2

=>x=5

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 12 2017

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(6=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\)

\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{xy^2z^3}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{xy^2z^3}\leq 1\Leftrightarrow xy^2z^3\geq 1\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(A=x+y^2+z^3\geq 3\sqrt[3]{xy^2z^3}\geq 3\sqrt[3]{1}=3\)

Vậy \(A_{\min}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\ x=y^2=z^3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(Q=\dfrac{x^3}{y+z}+\dfrac{y^3}{x+z}+\dfrac{z^3}{x+y}\)

\(Q=\dfrac{x^4}{xy+xz}+\dfrac{y^4}{xy+zy}+\dfrac{z^4}{xz+yz}\)

\(Q\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+xz+xy+zy+xz+yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)(svac-xo)

Lại có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(tự cm)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Mặt khác:\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\ge36\)(tự cm)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge12\)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{12}{2}=6\)

Vậy MINQ=6<=>x=y=z=2

6 tháng 4 2018

Ta có: \((\dfrac{x^3}{y+z}+\dfrac{y+z}{x})+\left(\dfrac{y^3}{x+z}+\dfrac{x+z}{y}\right)+\left(\dfrac{z^3}{x+y}+\dfrac{x+y}{z}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{x^3\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)x}}+2\sqrt{\dfrac{y^3\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)y}}+2\sqrt{\dfrac{z^3\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)z}}=2\sqrt{x^2}+2\sqrt{y^2}+2\sqrt{z^2}=2\left(x+y+z\right)\ge2.6=12\)

(Bất đẳng thức cauchy)

\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z} \)

\(=\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{yx}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{zx}{xz}}+2\sqrt{\dfrac{zy}{yz}}=2+2+2=6\) (Bất đẳng thức cauchy)

\(\Rightarrow P\ge12-6=6\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = 2

Vậy GTNN của P = 6 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = 2

AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 4 2018

Câu 1:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)

\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 4 2018

Câu 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)

(do \(x+y\leq 1\) )

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)

\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)

Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)

Vậy \(B_{\min}=11\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

21 tháng 5 2017

thi xong còn học chăm chỉ thế

22 tháng 5 2017

1)???

2) \(A=\dfrac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}=2+\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-2x+1}=2+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\ge2\)

Vậy GTNN của A là 2 tại x=2.

3) \(\)Đặt \(a=\dfrac{1}{x+100}\Rightarrow x=\dfrac{1}{a}-100\)

\(D=\dfrac{x}{\left(x+100\right)^2}=a^2x=a^2\left(\dfrac{1}{a}-100\right)=a-100a^2=-100\left(a^2-\dfrac{a}{100}+\dfrac{1}{40000}-\dfrac{1}{40000}\right)=-100\left(a-\dfrac{1}{200}\right)^2+\dfrac{1}{400}\le\dfrac{1}{400}\)

Vậy GTLN của D là \(\dfrac{1}{400}\) tại \(a=\dfrac{1}{200}\Leftrightarrow x=100\)

30 tháng 7 2019

a) \(B=\frac{x}{x+1}+\frac{2x-3}{x-1}-\frac{2x^2-x-3}{x^2-1}\)

\(B=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{\left(2x-3\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{2x^2-x-3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(B=\frac{\left(x^2-x\right)+\left(2x^2+2x-3x-3\right)-\left(2x^2-x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(B=\frac{x^2-x+2x^2-x-3-2x^2+x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(B=\frac{x^2-x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(B=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(B=\frac{x}{x+1}\)

30 tháng 7 2019

MÌnh nghĩ đề câu b là với x>-4 mới đúng chứ

\(B=\frac{x}{x+1}+\frac{2x-3}{x-1}-\frac{2x^2-x-3}{\left(x^2-1\right)}.\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)+\left(2x-3\right)\left(x+1\right)-2x^2+x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{x^2-x+2x^2-x-3-2x^2+x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{x^2-x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}\)

\(\Rightarrow A.B=\frac{x}{\left(x+1\right)}.\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)}=\frac{x^2}{\left(x-2\right)}=\frac{x^2-4+4}{\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+4}{\left(x-2\right)}=x+2+\frac{4}{x-2}=x-2+\frac{4}{x-2}+4\)

Áp dụng BĐT Cô - Si cho 2 số dương \(x-2;\frac{4}{x-2}\)ta có :

\(x-2+\frac{4}{x-2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-2\right).4}{x-2}}=2\sqrt{4}=4\)

\(\Rightarrow x-2+\frac{4}{x-2}\ge4\Rightarrow x-2+\frac{4}{x-2}+4\ge8\)

Hay \(S_{min}=4\Leftrightarrow x-2=\frac{4}{x-2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)}=\frac{4}{x-2}\Rightarrow x^2+4x+4=4\)

\(\Rightarrow x^2+4x=0\Rightarrow x\left(x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=-4\left(ktm\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow...\)

10 tháng 12 2022

a: \(P=\left(\dfrac{-\left(x+2\right)}{x-2}-\dfrac{4x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{x-2}{x+2}\right)\cdot\dfrac{x^2\left(2-x\right)}{x\left(x-3\right)}\)

\(=\dfrac{-x^2-4x-4-4x^2+x^2-4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{-x\left(x-2\right)}{x-3}\)

\(=\dfrac{-4x^2-8x}{\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{-x}{x-3}=\dfrac{4x^2}{x-3}\)

c: \(P=\dfrac{4x^2-12x+12x-36+36}{x-3}\)

\(=4x+12+\dfrac{36}{x-3}=4x-12+\dfrac{36}{x-3}+24\)

\(\Leftrightarrow P>=2\sqrt{4\left(x-3\right)\cdot\dfrac{36}{x-3}}+24=2\cdot\sqrt{144}+24=2\cdot12+24=48\)

Dấu = xảy ra khi 4(x-3)^2=36

=>(x-3)^2=9

=>x=6

10 tháng 12 2022

a: \(A=x^2-4x+4-3=\left(x-2\right)^2-3>=-3\)

Dấu = xảy ra khi x=2

b: \(x^2+4x-10=x^2+4x+4-14=\left(x+2\right)^2-14>=-14\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{x^2+4x-10}< =-\dfrac{4}{14}\)

=>B>=2/7

Dấu = xảy ra khi x=-2

c: \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>=\dfrac{3}{4}\)

=>2/x^2-x+1<=2:3/4=8/3

=>C>=-8/3

Dấu = xảy ra khi x=1/2

d: x^2-6x+12=(x-3)^2+3>=3

=>6/x^2-6x+12<=2

=>D>=-2

Dấu = xảy ra khi x=3