Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)
Mà \(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)
\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{1\left(x-1\right)}}{x}\le\dfrac{1+x-1}{2x}=\dfrac{1}{2}\) ( cauchy )
TT,\(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}};\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
cộng vế theo vế => đpcm
Thì biết pass facebook thôi chứ cũng không biết có hack không
Bạn ấy đăng nhập bằng FACEBOOK mà
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)
Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)
Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)
\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)
Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Đề được sửa lại là: Cho \(x;y;z>0\) sao cho xyz = 1
cm: \(\dfrac{1}{x^2+y+z}+\dfrac{1}{y^2+x+z}+\dfrac{1}{z^2+x+y}\le\dfrac{3}{x+y+z}\)
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:\(\left(x^2+y+z\right)\left(1+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+y+z}\le\dfrac{1+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\) (1)
bn tự chứng minh các BĐT tương tự (1) rồi cộng vế theo vế ta có:
VT= \(\dfrac{1}{x^2+y+z}+\dfrac{1}{y^2+x+z}+\dfrac{1}{z^2+x+y}\le\dfrac{3+2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Bài toán cm hoàn tất khi \(\dfrac{3+2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\le\dfrac{3}{\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3+2\left(x+y+z\right)\le3\left(x+y+z\right)\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT cauchy cho x;y;z>0 ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3.\sqrt[3]{1}=3\)
Ta có đpcm
\(\sum\dfrac{x^4y}{x^2+1}=\sum\dfrac{x^3.\dfrac{1}{z}}{x^2+xyz}=\sum\dfrac{x^2}{z\left(x+yz\right)}=\sum\dfrac{x^2}{xz+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz:
\(Vt=\sum\dfrac{x^2}{xz+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+3}\)
mà theo AM-GM: \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\)
hay \(3\le xy+yz+xz\)
do đó \(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
P/s: Câu này khoai
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}=\dfrac{x^2+y^2+2}{\left(xy\right)^2+x^2+y^2+1}=1-\dfrac{\left(xy\right)^2-1}{\left(xy\right)^2+x^2+y^2+1}\ge1-\dfrac{\left(xy\right)^2-1}{\left(xy\right)^2+2xy+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge1-\dfrac{\left(xy+1\right)\left(xy-1\right)}{\left(xy+1\right)^2}=1-\dfrac{xy-1}{xy+1}=\dfrac{2}{1+xy}\) (đpcm)
b. Tương tự câu a:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{1+zx}\) ; \(\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{1+yz}\)
Cộng vế với vế và rút gọn:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{z+zx}\) (1)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}z\ge1\Rightarrow1+xy\le1+xyz\\y\ge1\Rightarrow1+zx\le1+xyz\\x\ge1\Rightarrow1+yz\le1+xyz\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx}\ge\dfrac{1}{1+xyz}+\dfrac{1}{1+xyz}+\dfrac{1}{1+xyz}=\dfrac{3}{1+xyz}\) (2)
TỪ (1); (2) \(\Rightarrowđpcm\)
a) Ta có: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(1+xy\right)-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{\left(1+xy\right)-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(xy-x^2\right)\left(1+y^2\right)+\left(xy-y^2\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+xy^3-x^2-x^2y^2+xy+x^3y-y^2-x^2y^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2xy+xy\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2-x^2-y^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)(luôn đúng)
=> Đẳng thức ban đầu được chứng minh.
P/s: Cái đoạn sau bạn bổ sung thêm vào là vì x và y lớn hơn bằng 1 nên xy-1 sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 nhé, mình lười quá ngại chèn:vv.
Còn câu b bạn đợi mình nháp xíu.