\(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)

">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 3 2021

Áp dụng BĐT cosi:

`(y-1)+1>=2\sqrt{y-1}`

`=>\sqrt{y-1}<=y/2`

`=>x\sqrt{y-1}<=(xy)/2`

Hoàn toàn tương tự:

`\sqrt{x-1}<=x/2`

`=>y\sqrt{x-1}<=(xy)/2`

`=>x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}<=xy`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=2`

1 tháng 3 2021

tks bn ^-&

 

20 tháng 12 2015

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

\(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)

=>\(x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

=>\(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=xy\)

Dấu ''='' xảy ra <=>x=y=1

19 tháng 5 2019

Ta có : \(xy\left(x+y\right)^2\le\frac{1}{64}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\frac{1}{64}}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)

ta cần c/m \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)

Thật vậy, ta có

Áp dụng BĐT : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b

\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)^2}{4}=\frac{\left(\sqrt{x}^2+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}^2\right)^2}{4}.\frac{1}{2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{4}\)

6 tháng 8 2018

Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có

\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)

\(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)

\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

15 tháng 1 2018

C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:

\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)

"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

8 tháng 6 2015

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\)

Mà \(x=\left(x-1\right)+1\ge2\sqrt{x-1}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\)

Tương tự: \(\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le\frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\left(đpcm\right)\)

4 tháng 11 2017

Ban kia lam dung roi do

k tui nha

thanks

NV
17 tháng 6 2020

Đặt \(P=xy\left(x+y\right)^2\)

\(P=\frac{1}{64}.4.2\sqrt{xy}\left(x+y\right).4.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)

\(P\le\frac{1}{64}\left(2\sqrt{xy}+x+y\right)^2\left(2\sqrt{xy}+x+y\right)^2\)

\(P\le\frac{1}{64}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\frac{1}{64}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)

12 tháng 11 2018

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}\right):\left(\dfrac{x+y+2xy}{1-xy}+1\right)\)

Điều kiện : \(xy\ge0\) hoặc \(xy\le0\) ; \(xy\ne1\); \(x\ge0\);\(y\ge0\)

\(P=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{\left(1+\sqrt{xy}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)}\right):\left(\dfrac{x+2xy+y+1-xy}{1-xy}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\dfrac{x+xy+y+1}{1-xy}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\dfrac{x\left(1+y\right)+\left(y+1\right)}{1-xy}\right)\)

\(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}\left(1+y\right)}{1-xy}\right):\left(\dfrac{\left(1+y\right)\left(x+1\right)}{1-xy}\right)\)

\(P=\dfrac{2\sqrt{x}\left(1+y\right)}{1-xy}.\dfrac{1-xy}{\left(1+y\right)\left(x+1\right)}\)

\(P=\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}\)

b) ta có :\(x=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4-3}=3-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)

thay \(x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\) vào biểu thức P
ta được : \(P=\dfrac{2\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2+1}\)

\(P=\dfrac{2\left|\sqrt{3}-1\right|}{4-2\sqrt{3}+1}=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{5-2\sqrt{3}}\)

\(P=\dfrac{\left(2\sqrt{3}-2\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}{\left(5-2\sqrt{3}\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}=\dfrac{10\sqrt{3}+12-10-4\sqrt{3}}{25-12}\)

\(P=\dfrac{6\sqrt{3}+2}{13}\)

c) để P\(\le\)1 thì \(\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}}{x+1}-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-x-1}{x+1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{x+1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x+1}\le0\)

\(-\left(x-1\right)^2\le0\) nên x + 1 \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) -1
đúng thì cho xin 1 like nha

2 tháng 3 2018

༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻Tâm đường tròn ở đâu

4 tháng 3 2018

R là số thực nhỉ???

3 tháng 12 2018

Nếu để ý,bài này Cô si "ngược" là ra =))

Ta có: \(\sqrt{y-1}=\sqrt{1\left(y-1\right)}\le\frac{1+y-1}{2}=\frac{y}{2}\)

Tương tự: \(\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\)

Do đó: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le x.\frac{y}{2}+y.\frac{x}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=\frac{2xy}{2}=xy^{\left(đpcm\right)}\)

3 tháng 12 2018

"=" xảy ra <=> y-1=1 và x-1=1 <=> x=y=2 (thỏa mãn)