Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
https://olm.vn/hoi-dap/detail/5617054235.html
https://olm.vn/hoi-dap/detail/5617054235.html
Xem tại: Câu hỏi của Vương Hoàng Minh - Toán lớp 9 - Bất đẳng thức
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Với mọi x,y >0 có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
=> \(1\ge4xy\) (do x+y=1) <=> \(\frac{1}{xy}\ge4\)
Lại có \(x^2+y^2\ge2xy\)
<=> \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
<=> \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Có \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\)
<=> \(2\left(x^4+y^4\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
<=> \(8\left(x^4+y^4\right)\ge\frac{1}{4}.4=1\)
=> \(8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{xy}\ge1+4=5\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
Cho mik hỏi sao \(\left(x^2+y^2\right)^2\)≥ \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) vậy bạn
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)
Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)
\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.
\(VT=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}>4\)
Cách khác.
Ta có: \(A=\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x+y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y}.\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT cho các số x,y >0 , ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
Và x+y \(\le\)1 \(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y =0,5
Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
1.
\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
2.
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Áp Dụng Cosi 3 số Ta phân tích B thành :
\(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}+\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}-\frac{1+x}{4}-1\)
\(=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\)
Ta có
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}.\frac{1+y}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)
\(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+x}.\frac{1+x}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow B=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\ge\)
\(\frac{3y}{2}+\frac{3x}{2}-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1=\frac{3y+3x}{2}-\frac{1+y+1+x}{4}-1=\frac{6x+6y-1-y-1-x}{4}\)
\(=\frac{5y+5x-2}{4}-1\)
Ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
mà xy=1
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow5\left(x+y\right)\ge10\)
\(\Rightarrow5x+5y-2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\)
Mà \(B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\Rightarrow B\ge1\left(dpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt nha
T I C K nha
(x^3)/(1+y)=(x^3)/(1+y)+(1+y)/4+1/2-(1+y)/4-1/2
Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 3 số:(x^3)/(1+y) (1+y)/4 và 1/2 ta có
(x^3)/(1+y) +(1+y)/4 +1/2 \(\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x^3}{4\cdot2}\right)}=\frac{3}{2}\cdot x\)
CMTT ta có B>=3/2*(x+y)-(1+y+1+x)/4-1=3/2*(x+y)-(2+x+y)/4-1
ta có x+y>=\(2\sqrt{xy}\)=2
~>B>=3/2*2-1-1=1~> ĐPCM
Áp dụng các bất đẳng thức sau (tự chứng minh)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
được \(8\left(x^4+y^4\right)\ge8\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]=4\left(x^2+y^2\right)^2\ge4\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2=1\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow1\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Cộng 2 vế của 2 bđt trên lại ta đc đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy .....