K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 4 2022
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
17 tháng 4 2022
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
2 tháng 2 2022
Ta có nhận xét sau:
\(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)
Tương tự với các phân thức còn lại
Ta đặt:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)
Biểu thức P trở thành:
\(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)
Dễ thấy:
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)
\(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Do đó:
\(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
9 tháng 8 2017
bài này bạn cho điều kiện sai rồi \(x\ge0;x\ne-1\) mới đúng nha
ta có : \(x^2\ge0\forall x\) và \(x+1\ge1>0\forall x\) \(\Leftrightarrow y=\dfrac{x^2}{x+1}\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\) Min của \(y=\dfrac{x^2}{x+1}\) là 0 khi \(x^2=0\Leftrightarrow x=0\)
vậy Min của \(y=\dfrac{x^2}{x+1}\) là 0 khi \(x=0\)
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
2 tháng 10 2017
Áp dụng bđt AM-GM có:
\(1+\dfrac{y}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{z}};1+\dfrac{z}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{x}}\)
Dễ dàng suy ra: \(M\ge\dfrac{x}{y}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+3\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\right)+\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{x}{y}+\left(3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\)
Theo AM-GM có: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot11\sqrt[11]{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{z}\cdot\dfrac{z}{x}}=\dfrac{11}{\sqrt{2}}\) (1)
Theo đề: \(x\ge max\left\{y,z\right\}\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}\ge1\\\dfrac{z}{x}\le1\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{x}{y}\ge1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\\\left(3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\ge3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế bđt (1), (2) ,(3) có:\(A\ge\dfrac{11}{\sqrt{2}}+1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}\)
Xảy ra khi \(x=y=z\)
3 tháng 10 2017
Lâu lâu k đi khủng bố tinh thần :3
Ta đi cm \(1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}\) là Min nhé
\(M'(x)=\dfrac{1}{y}+\dfrac{-\dfrac{z}{x^2}}{\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{z}{x}\right)^2}}=\dfrac{x^2\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{z}{x}\right)^2}-yz}{y\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{z}{x}\right)^2}}\ge0\)
Vì vậy ta cần xét 2 trường hợp
*)\(y\ge z;x=y\). Đặt \(\dfrac{y}{z}=t\). Khi đó \(t\ge 1\) và cần cm \(f(t)\ge 0\)
\(f(t)=2\sqrt{1+t}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{t}}-2\sqrt{2}-3\sqrt[3]{2}\)
Thật vậy \(f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t}}+\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{t}}}=\dfrac{\sqrt[3]{t^4(t+1)^2}-\sqrt{1+t}}{\sqrt{1+t}\sqrt[3]{t^4(t+1)^2}}>0\)
\(\Rightarrow f(t)\ge f(1)=0\)
*)\(z\ge y ;x=z\). Khi đó \(t\ge 1\) và ta cm \(g(t)\ge 0\)
\(g(t)=t+2\sqrt{1+\dfrac{1}{t}}-1-2\sqrt{2}\)
Và \(g'(t)=1+\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{t}}}=\dfrac{\sqrt{t^3(t+1)}-1}{\sqrt{t^3(t+1)}}>0\)
Tức là \(g(t)\geq g(1)=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2021
\(P=\dfrac{4x^2+2xy-\left(x^2+y^2\right)}{2xy-2y^2+3\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{3x^2+2xy-y^2}{3x^2+2xy+y^2}\)
Biểu thức này không tồn tại max mà chỉ tồn tại min
\(P=\dfrac{-2\left(3x^2+2xy+y^2\right)+9x^2+6xy+y^2}{3x^2+2xy+y^2}=-2+\dfrac{\left(3x+y\right)^2}{2x^2+\left(x+y\right)^2}\ge-2\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(y=x+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\)
Do đó \(y_{\min}=3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{2}=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}\)