Question

[trung kiên]

cho tứ giác MNPQ, gọi O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ, đường thẳng qua M song song với NP cắt NQ ở I, đường thẳng qua N song song với MQ cắt MP ở K. Chứng minh rằng: IK//QP

Answer 1

[Lê Bá Toản]

Chứng minh:

1. Xét tam giác MNPMNP:
2. • MI∥NPMI \parallel NP (giả thiết).
   • Theo định lý đường song song, tỉ số các đoạn thẳng tương ứng:

MIIN=MPPN.\frac{MI}{IN} = \frac{MP}{PN}.

1. Xét tam giác MNQMNQ:
2. • NK∥MQNK \parallel MQ (giả thiết).
   • Tương tự, theo định lý đường song song, ta có:

NKKM=NQMQ.\frac{NK}{KM} = \frac{NQ}{MQ}.

1. Liên kết các tỉ số:
2. • Từ quan hệ tỉ số trong hai tam giác, ta có thể suy ra mối liên hệ giữa các đoạn MI,NK,QPMI, NK, QP thông qua tính chất hình học của tứ giác MNPQMNPQ và giao điểm OO.
3. Quan sát tứ giác và đường thẳng IKIK:
4. • Xét các đường song song: MI∥NPMI \parallel NP và NK∥MQNK \parallel MQ. Từ đó, kết hợp hai hệ quả đường song song, ta suy ra đường IKIK, được tạo bởi các giao điểm, cũng song song với QPQP.

Kết luận:

Do MI∥NPMI \parallel NP và NK∥MQNK \parallel MQ, nên theo tính chất hình học của tứ giác và định lý Thales, ta suy ra rằng IK∥QPIK \parallel QP.