Question

[Minagi Aino]

Cho tứ giác ABCD,O là giao hai đường chéo.Qua I thuộc đoạn OB,vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC,cắt AB,BC và các tia DA,DC theo thứ tự các điểm M,N,P,Q
a) Chứng minh \(\frac{IM}{OA}\)= \(\frac{IB}{OB}\) và \(\frac{IM}{IP}\)= \(\frac{IB}{ID}\). \(\frac{OD}{OB}\)
b) Chứng minh \(\frac{IM}{IP}\)= \(\frac{IN}{IQ}\)

Answer 1

[IS]

a) + ∆ABO có  IM // AO

⇒ OB/IB = AO/IM   (1)

+ ∆IDP có AO // IP

⇒ ID/OD = IP/OA (2)

Nhân (1) với (2), ta được :

OB/IB . ID/OD = AO/IM . IP/OA ⇔ ID/IB . OB/OD = IP/IM (ĐPCM)

b) + ∆OBC có IN // OC

⇒ BO/IB = OC/IN (3)

+ ∆DQI có OC // IQ ⇒ ID/OD = IQ/OC (4)

Nhân (3) với (4) , ta được :

BO/IB . ID/OD = OC/IN . IQ/OC ⇔ ID/IB . OB/OD = IQ/IN (5) 

+ Theo câu a) , ta có : ID/IB . OB/OD = IP/IM (6)

Từ (5) và (6) suy ra :  IP/IM = IQ/IN  (dpcm)

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

a) \(\Delta\)AOB có: MI //AO \(\Rightarrow\frac{MI}{AO}=\frac{IB}{OB}\)

\(\Delta\)DPI có: AO//IP

\(\Rightarrow\frac{OA}{IP}=\frac{OD}{ID}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{AO}\cdot\frac{AO}{IP}=\frac{IB}{BO}\cdot\frac{OD}{IID}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{IP}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\)

b) \(\Delta DIQ\)có: OC // IQ \(\Rightarrow\frac{OC}{IQ}=\frac{OD}{ID}\left(1\right)\)

\(\Delta BOC\)có: IN//OC \(\Rightarrow\frac{IN}{DC}=\frac{BI}{BD}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{OC}{IQ}=\frac{IN}{OC}=\frac{OD}{ID}\cdot\frac{BI}{BO}\\\frac{IN}{IQ}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\end{cases}}\)

Theo câu (a) có: \(\frac{IM}{IP}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\)

\(\Rightarrow\frac{IM}{IP}=\frac{IN}{IQ}\left(đpcm\right)\)