Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D O
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
- Xét lần lượt các tam giác OAB , OBC , OCD , OAD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được :
\(OA+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OA+OD>AD\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+AD\)
\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\) \(\Rightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)
- Tương tự, lần lượt xét các tam giác ACD , BCD , BAC , ABD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được :
\(AD+CD>AC\) ; \(BC+CD>BD\) ; \(AB+BC>AC\) ; \(AB+AD>BD\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)
\(\Rightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)(2)
Từ (1) và (2) ta có : \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)
hay \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+AD\)
A B C D O
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(OA+OB>AB\)
\(OB+OC>BC\)
\(OC+OD>DC\)
\(OD+OA>AD\)
Cộng vế theo vế thì \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CA+AD\)
\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{AB+BC+CA+AD}{2}\) ( 1 )
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(AB+BC>CA;BC+CD>BD;CD+DA>CA;DA+AB>BD\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(CA+BD\right)=2\left(AO+OC+OD+OB\right)\)
\(\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra đpcm.
a) Xét ΔACD va ΔDBA có:
AB=DC(gt)
^ADC=^DAB(gt)
AB: cạnh chung
=> ΔACD=ΔDBA(c.g.c)
=>^ACD=^DBA ; ^DAC=^ADB
Có: ^BAD=^BAO+^OAD
^CDA=^CDO+^ODA
Mà ^BAD=^CDA(cmt) ; OAD=^ODA
=> ^BAO=^CDO
b) Xét ΔAOB và ΔDOC có:
^BAO=^CDO(cmt)
AB=DC
^ABO=^DCO(cmt)
=> ΔAOB=ΔDOC(g.c.g)
=> OB=OC ; OA=OD
A B D C 2 2 1 1 O
Câu a) bạn có thể giải theo 2 trường hợp đó là: c.c.c và c.g.c bài này mk giải trường hợp hợp c.c.c nha
a)Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta DBA\)
có: + AC=BD( ABCD là hình thang cân)
+BC=AD(ABCD là hình thang cân)
+ AB:cạnh chung
Vậy \(\Delta ACD=\Delta DBA\left(c.c.c\right)\)
=> \(D_1=C_1\) ( 2 góc tương ứng) (1)
Mà \(\widehat{D}=\widehat{C}\left(gt\right)\) (2)
từ (1) và (2) =>\(\widehat{D_2}=\widehat{C_2}\)
=>\(\Delta EDC\) cân tại E
=> OD=OC (1)
Mặt khác: BD=AC(gt) (2)
Từ (1) và (2) :
=>OA=OB.
( Hình tự vẽ nha bạn )
giải
Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)
⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)
⇒ΔOCD cân tại O (dhnb tam giác cân)
⇒ OC = OD
OB + BC = OA + AD
Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ OA = OB
Xét ΔADC và. ΔBCD:
AD = BC (hình thang ABCD cân )
AC = BD (hình thang ABCD cân)
CD chung
Do đó ΔADC và ΔBCD (c.c.c)
⇒ ∠ADC= ∠BCD (2 góc tương ứng)
⇒ΔEDC cân tại E (dhnb tam giác cân)
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD
E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB
E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
Bạn ghi nhầm đề thì phải, tự nhiên ban đầu có BC+CB, chắc là BC+CD
Sử dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, OAD ta có:
OA+OB>AB; OB+OC>BC; OC+OD>CD; OA+OD>AD
Cộng vế với vế ta được:
2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+AD
\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}\) (1)
Tương tự, sử dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB ta có:
AB+BC>AC=OA+OC
BC+CD>BD=OB+OD
CD+AD>AC=OA+OC
DA+AB>BD=OB+OD
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)
\(\Rightarrow AB+BC+CD+AD>OA+OB+OC+OD\) (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Hình bạn vẽ nha bạn.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
\(AB< OA+OB\)
\(BC< OB+OC\)
\(CD< OC+OD\)
\(DA< OD+OA\)
Do đó: \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)
Hay \(OA+OB+OC+OD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)(1)
Ta lại áp dụng bất đẳng thức tam giác:
\(AB+BC>AC\)
\(BC+CD>BD\)
\(CD+AD>AC\)
\(AB+AD>BD\)
Do đó: \(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)
Hay \(AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
\(\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+DA\)
Bạn ghi sai cái đề chỗ \(\dfrac{AB+BC+CB+AD}{2}\) nha