Question

[Đoàn Vĩnh An]

Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng ABvàCD, F là giao điểm của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau tại I.

Chứng minh rằng:

a, Nếu góc BAD= 130 độ, góc BCD = 50 độ thì IE vuông góc với IF

b, góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối của tứ giác ABCD

Answer 1

[Oo Bản tình ca ác quỷ oO]

a/ Gọi M là giao điểm của AB và EI, N là giao điểm của AD và FI.

Ta có BMIˆ=MEBˆ+MBEˆ=EIFˆ+MFIˆBMI^=MEB^+MBE^=EIF^+MFI^ ( góc ngoài tam giác ) →EIFˆ=MEBˆ+MBEˆ−MFIˆ (1)→EIF^=MEB^+MBE^−MFI^ (1)

Lại có DNIˆ=NFDˆ+NDFˆ=EIFˆ+NEIˆDNI^=NFD^+NDF^=EIF^+NEI^ ( góc ngoài tam giác ) →EIFˆ=NFDˆ+NDFˆ−NEIˆ (2)→EIF^=NFD^+NDF^−NEI^ (2)

Do EM là phân giác AEBˆ→MEBˆ=NEIˆAEB^→MEB^=NEI^

Do FN là phân giác 

Answer 2

[Oo Bản tình ca ác quỷ oO]

a/ Gọi M là giao điểm của AB và EI, N là giao điểm của AD và FI.

Ta có BMIˆ=MEBˆ+MBEˆ=EIFˆ+MFIˆBMI^=MEB^+MBE^=EIF^+MFI^ ( góc ngoài tam giác ) →EIFˆ=MEBˆ+MBEˆ−MFIˆ (1)→EIF^=MEB^+MBE^−MFI^ (1)

Lại có DNIˆ=NFDˆ+NDFˆ=EIFˆ+NEIˆDNI^=NFD^+NDF^=EIF^+NEI^ ( góc ngoài tam giác ) →EIFˆ=NFDˆ+NDFˆ−NEIˆ (2)→EIF^=NFD^+NDF^−NEI^ (2)

Do EM là phân giác AEBˆ→MEBˆ=NEIˆAEB^→MEB^=NEI^

Do FN là phân giác AF