Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây là đẳng thức ptôlêmê.
C/m: Lấy 1 điểm M thuộc AC sao cho gocABD=gocMBC. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ^ADC=^ACB. Từ 2 điều trên suy ra tam giác ABD ~ MBC(g.g). Suy ra AD/MC=BD/BC => AD.BC=BD.MC (1)
Từ cặp tam giác đồng dạng trên ta cũng có AB/BM = BD/BC => AB/BD = BM/BC mà ^ABM = ^DBC nên tam giác ABM ~ tam giác DBC.
=> AB.CD=AM.BD (2)
Cộng (1), (2) vế theo vế suy ra AC.BD = AB . CD + AD . BC
Vậy AC.BD = AB.CD + AD . BC ( đpcm )
A B C D M N I
Nối đường chéo BD của tứ giác ABCD. Lấy I là trung điểm của đoạn BD, nối IM và IN.
Xét \(\Delta\)BAD: I là trung điểm BD; M là trung điểm AD => IM là đường trung bình của tam giác BAD
=> IM = 1/2 AB. Tương tự ta có: IN = 1/2 CD \(\Rightarrow IM+IN=\frac{AB+CD}{2}\)
Mà \(IM+IN\ge MN\)(T/c 3 điểm) \(\Rightarrow\frac{AB+CD}{2}\ge MN\)
Vậy \(MN\le\frac{AB+CD}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> I thuộc đoạn MN <=> MN // AB // CD (Do IM // AB và IN // CD) <=> Tứ giác ABCD là hình thang.
Gọi M là trung điểm của AC, ta có:
\(GE\le GM+ME=\dfrac{1}{2}CD+\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{AB+CD}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) Ba điểm M, G, E thẳng hàng.
\(\Leftrightarrow\) GE // AB và GE // CD \(\Leftrightarrow\) AB // CD
\(\Leftrightarrow\) Tứ giác ABCD là hình thang.
A B C D E G M
A B C D M K Hình 2
Trước hết ra chứng minh bổ đề sau :
Trong một tứ giác lồi ABCD, ta có: \(AB.CD+AD.BC\ge AC.BD\)( BẤT ĐẲNG THỨC PTÔLÊMÊ)
A B C D E Hình 1
Thật vậy, lấy điểm E trong tứ giác ABCD sao cho \(\widehat{EBA}=\widehat{DBC};\widehat{EAB}=\widehat{BDC}\)(Hình 1)
Khi đó hai tam giác ABE và DBC đồng dạng nên \(\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD}\).\(\Rightarrow AB.CD=BD.AE\)(1)
Lại từ \(\Delta ABE~\Delta DBC\Rightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{BC}\); Và \(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\)(Do \(\widehat{ABE}+\widehat{EBD}=\widehat{DBC}+\widehat{EBD}.\))
Suy ra \(\Delta EBC~\Delta ABD\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{AD}\Rightarrow AD.BC=BD.EC.\)(2)
Từ (1) và (2) có: \(AB.CD+AD.BC=BD\left(AE+EC\right)\Rightarrow AB.CD+AD.BC\ge AC.BD\)
Đẳng thức xảy ra khi E nằm trên đoạn AC, nghĩa là khi và chỉ khi \(\widehat{CAB}=\widehat{CDB}\)hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh, áp dụng BẤT ĐẲNG THỨC PTÔLÊMÊ vào bài toán(Hình 2)
Qua đường thẳng song song với AD đi qua M lấy điểm K sao cho AD=MK=BC.(K nằm trong cùng một nửa mặt phẳng với M,C)
Suy ra các tứ giác AMKD, BMKC là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết thứ 3)
Áp dụng bất đẳng thức PTÔLÊMÊ cho tứ giác MCKD ta có: \(MD.CK+MC.DK\ge MK.CD\)
Mà AMKD, BMKC là hình bình hành nên \(\hept{\begin{cases}CK=MB\\DK=MA\end{cases}}\)Và \(MK=BC\)(cách vẽ)
Suy ra \(MD.MB+MC.MA\ge BC.CD\)(Điều phải chứng minh)
Dấu '=' xảy ra khi tứ giác MCKD nội tiếp hay \(\widehat{MKC}=\widehat{MDC}\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{MDC}\)(Do \(\widehat{MBC}=\widehat{MKC}\))
(P/S : Chỗ dấu '=' em cũng đang phân vân, bài em có gì sai mong các bạn góp ý sửa giùm ạ. Cám ơn)
- Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
- Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
- Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
- Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
- Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
- Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
- Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
- Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)
1/ \(a^2-b^2+c^2\ge\left(a-b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow bc-ac-b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bc-ac\right)+\left(ab-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)(đúng)
Vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\\b\ge c\end{cases}}\)
2/ \(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-d^2+cd-bd+ad+bc-ac-b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(dc-d^2\right)+\left(ad-bd\right)+\left(bc-ac\right)+\left(ba-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow d\left(c-d\right)+d\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Đúng vì \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
Dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
\(\frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}\)
Suy ra \(BA.CD=EA.BD\left(1\right)\)
Mặt khác, tam giác EBC và tam giác ABD cũng đồng dạng do có
\(\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}\) và góc EBC= góc ABD
Từ đó
\(\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)
Suy ra
\(AD.BC=EC.BD\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) ta suy ra
\(AB.CD+AD.BC=BD.\left(EA+EC\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra \(AB.CD+AD>BC\ge AC>BD\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptoleme.
Lớp 8 đã học tứ giác nội tiếp đâu mà bạn đã kết luận như vậy rồi.Bạn làm theo ý tưởng trên Wikipedia cũng phải chỉ rõ cách dựng điểm E ; kết luận dấu = xảy ra khi E,C,A thẳng hàng rồi từ đó suy ra tổng 2 góc đối của tứ giác bằng 1800