Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
Mặt khác, ta cũng có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2=1\left(đpcm\right)\)
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab ( cộng mỗi vế thêm 2ab )
Với a,b > 0 thì chia cả 2 vế cho ab.(a+b) được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a + 1/b >= 4/a+b
Tương tự : 1/b + 1/c >= 4/b+c ; 1/c + 1/a >= 4/c+a
=> 2.(1/a+1/b+1/c) >= 4.(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a)
<=> 1/a + 1/b + 1/c >= 2.(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a)
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
Tk mk nha
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
\(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Từ \(abc=1\Rightarrow a=\frac{1}{bc}\) thay vào ta có:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}\cdot b+\frac{1}{bc}+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{\frac{1}{bc}\cdot c+c+1}\)
\(=\frac{1}{bc\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}+1\right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{\frac{1}{b}+c+1}\)
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{b\left(\frac{1}{b}+c+1\right)}\)
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}\)
\(=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}=1\)
a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1)
=abc/(ab+a+1)bc+b/(bc+b+1)+bc/(ac+c+1)b
=1/(abcb+abc+bc)+b/(bc+b+1)+bc/(abc+bc+b)
=1/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+bc/(bc+b+1)
=(bc+b+1)/(bc+b+1)=1
\Rightarrow a-b=-
\Rightarrow a-b= (1)
Từ : b+=c+
\Rightarrow b-c = c+
\Rightarrow b-c = (2)
Từ : c+=a+
\Rightarrow c-a =-
\Rightarrow c-a=(3)
Nhân tùng vế của (1)(2)(3) cho nhau ,ta đc:
(a-b)(b-c)(c-a) =
\Rightarrow a^2b^2c^2(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(c-a)
\Rightarrow (a-b)(b-c)(a^2b^2c^2 -a)=0
Vì a,b,c đôi một khác nhau
\Rightarrow ( a-b)(b-c)(c-a)khác 0
\Rightarrow a^2b^2c^2 -1 =0
\Leftrightarrow abc= 1 or abc=-1tích nha
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)
Với \(a+b=0\)
Thì \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\\\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\end{cases}}\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại ta có ĐPCM
bc+1/c = ca+1/c => bc + 1 = ca + 1 <=> bc = ca <=> b = a
minh chi lam đc 1 cai thoi
Ta có a+b+c>(a+b+c):1
=>a>1, b<1, c>1
=>.. dpcm
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}=bc+ac+ab\Rightarrow a+b+c>bc+ac+ab\)
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1\)
\(=1-1+a+b+c-ac-bc-ab=a+b+c-\left(ac+bc+ab\right)\)
vì \(a+b+c>bc+ac+ab\)(chứng minh trên)\(\Rightarrow a+b+c-\left(bc+ac+ab\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)