Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ \(AH\perp BC\) tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAC có:
\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)
Do AD và AE lần lượt là hai tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A
\(\Rightarrow AD\perp AE\)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AED có:
\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AH^2}\) (AH là đường cao của tam giác AED do \(AH\perp BC\) hay \(AH\perp ED\))
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{DA^2}\)
Vậy...
a)
a)Kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC
Tứ giác AEDF có ∡FAE = ∡AED = 90 độ
⇒ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật
Ta có: AD là tia phân giác ∡BAC hay ∡EAF
⇒ Tứ giác AEDF là hình vuông
⇒ DE = DF = AD/√2
ΔABC có AB//DF (cùng ⊥ với CA)
⇒ DF/DB = CD/BC
Tương tự: AC//DE ⇒ DE/AC = BD/BC
⇒ DF/AB + DE/AC = (CD+BD)/BD
⇔ AD/(AB√2) + AD/(AC√2) = BC/BC
⇔ 1/AB + 1/AC = √2/AD (đpcm)
A B D C E
a/ \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.sin\widehat{BAD}=AB.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=AC.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\)
Suy ra : \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{4}AD.\left(AB+AC\right)\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)
b/ Tương tự
Hình tự vẽ
Từ D kẻ DE ⊥ AB (E ∈ AB); DF ⊥ AC (F ∈ AC)
Tứ giác AEDF có: \(\widehat{DEA}=\widehat{EAF}=\widehat{AFD}=90^o\)
=> AEDF là hình chữ nhật. Lại có AD là tia phân giác \(\widehat{EAF}\)
=> AEDF là hình vuông
=> AE = AF = DF = DE = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
Xét ΔBED và ΔDFC có:
\(\widehat{BED}=\widehat{DFC}=90^o\)
\(\widehat{EBD}=\widehat{FDC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
=> ΔBED ~ ΔDFC (g.g)
=> \(\dfrac{BE}{DF}=\dfrac{ED}{FC}\Rightarrow\dfrac{AB-AE}{DF}=\dfrac{ED}{AC-AF}\)
=> (AB - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\))(AC - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)) = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}.\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
=> AB.AC - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)(AB + AC) + \(\dfrac{AD^2}{2}\) = \(\dfrac{AD^2}{2}\)
=> AB.AC = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)(AB + AC)
=> \(\dfrac{AB.AC}{AB+AC}=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
=> \(\dfrac{AB+AC}{AB.AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\Rightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\)