Câu hỏi của Vương Hoàng Minh

Question

Cho tập hợp các số nguyên A thỏa mãn đồng thời 2 tính chất sau:

1) Với mọi a,b $\in$ A $\Rightarrow$ 2a, a + b $\in$ A

2) A chứa cả số dương lẫn số âm.

Chứng minh rằng: Nếu a,b thuộc A thì a - b cũng thuộc A.

Thầy Giáo Toán · Accepted Answer

Với mỗi $a\in A\to2a\in A\to3a=2a+a\in A\to\cdots\to na\in A$ với mọi số nguyên dương $n.$Ta kí hiệu $c$ là số dương bé nhất thuộc A và $d$ là số âm lớn nhất thuộc A (Hai số này tồn tại vì theo giả thiết A chứa cả số âm và số dương).  Nếu $c+d>0\to c+d$ là số dương thuộc A và bé hơn $c$, mâu thuẫn. Nếu $c+dr$.   Nếu $r>0\to r=x-cq=x+qd\in A$. (Vì $x,qd\in A$ ).  Suy ra $r$ là số dương bé hơn $c$ và thuộc A, vô lí. Vậy $r=0\to x\vdots c$. Tương tự, mỗi số âm $x\in A\to x\vdots c$. Vậy mọi $x\in A\to x\vdots c$.     (2)Từ (1) và (2)  ta suy ra $A$ là tập tất cả các số có dạng $nc,nd$ với n là số nguyên không âm. Mà $c+d=0\to A$ là tập các số có dạng $cn$ với $n$ là số nguyên bất kì. Xét hai số $a,b\in A$ khi đó $a=mc,b=nc\to a-b=\left(m-n\right)c\in A.$   (ĐPCM) Câu trả lời: Với mỗi $a\in A\to2a\in A\to3a=2a+a\in A\to\cdots\to na\in A$ với mọi số nguyên dương $n.$Ta kí hiệu $c$ là số dương bé nhất thuộc A và $d$ là số âm lớn nhất thuộc A (Hai số này tồn tại vì theo giả thiết A chứa cả số âm và số dương).  Nếu $c+d>0\to c+d$ là số dương thuộc A và bé hơn $c$, mâu thuẫn. Nếu $c+dr$.   Nếu $r>0\to r=x-cq=x+qd\in A$. (Vì $x,qd\in A$ ).  Suy ra $r$ là số dương bé hơn $c$ và thuộc A, vô lí. Vậy $r=0\to x\vdots c$. Tương tự, mỗi số âm $x\in A\to x\vdots c$. Vậy mọi $x\in A\to x\vdots c$.     (2)Từ (1) và (2)  ta suy ra $A$ là tập tất cả các số có dạng $nc,nd$ với n là số nguyên không âm. Mà $c+d=0\to A$ là tập các số có dạng $cn$ với $n$ là số nguyên bất kì. Xét hai số $a,b\in A$ khi đó $a=mc,b=nc\to a-b=\left(m-n\right)c\in A.$   (ĐPCM)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP