Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC có:
A chung
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\left(=cosA\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=cos^2A=1-sin^2A\)
\(1-\sin^2A=\cos^2A=\dfrac{AF^2}{AC^2}\left(1\right)\)
Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\Rightarrow\Delta AEB\sim\Delta AFC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AF}{AC}\right)^2=\dfrac{AF^2}{AC^2}\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)
a, bc^2 = ab^2 +ac^2
<=.> (ae+eb)^2 +(af+fc)^2
<=.>AE^2 +2 AE.EB +EB^2 +AF^2+FC^2+2AF,FC
<=> EF^2 +EB^2 +CF^2 +2.(EH^2+FH^2)
<=>EB^2 +CF^2 + AH ^2 + 2 AH^2 vì tứ giác EHAF là hcn suy ra AH =EF
<=>EB^2 +CF^2+3 AH^2 (đpcm)
b, cb =2a là thế nào vậy
A B C O D I H E F K G T G 0 L
a) Ta thấy: \(\Delta\)ABC nhận H làm trực tâm nên ^BHC + ^BAC = 1800 (1)
Ta có: ^FKE = ^BKC = 1800 - ^KBC - ^KCB = 1800 - ^EAD - ^FAD = 1800 - ^EAF => ^BKC + ^BAC = 1800 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ^BHC = ^BKC => Tứ giác BHKC nội tiếp => ^KHC = ^KBC = ^CAD
Mà AD đi qua tâm ngoại tiếp (O) của \(\Delta\)ABC, AH vuông góc BC nên dễ thấy ^CAD = ^BAH
Từ đó: ^KHC = ^BAH = ^BCH => HK // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (đpcm).
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CK cắt (O) tại điểm thứ hai G.
Xét (O): ^BGC + ^BAC = 1800. Mà ^BKC + ^BAC =1800 (cmt) nên ^BGC = ^BKC
=> ^KBC = ^GCB => BK // CG => Tứ giác BKCG là hình bình hành => S = SBGC
Hạ GT vuông góc BC thì S = SBGC = GT.BC/2 < G0L.BC/2 (Với G0 là điểm chính giữa cung BC không chứa A)
Lại có: ^LBG0 = 1/2.Sđ(BC = ^BAC/2 => G0L = BL.tan^BAC/2 hay G0L = BC/2 . tan^BAC/2
Suy ra: S < BC/2 . tan^BAC/2 . BC/2 = (BC/2)2.tan^BAC/2 (đpcm).
c) +) Chứng minh BF.BA - CE.CA = BD2 - CD2 ?
Theo tính chất góc nội tiếp: ^KED = ^BED = ^BAD = ^DAF = ^DCF = ^DCK => Tứ giác DKEC nội tiếp
Tương tự: Tứ giác DKFB nội tiếp. Áp dụng phương tích đường tròn:
BF.BA - CE.CA = BD.BC - CD.CB = BC(BD-CD) = (BD+CD)(BD-CD) = BD2 - CD2 (đpcm).
+) Chứng minh: DI vuông góc với BC ?
Từ câu a ta có: ^EKF + ^EAF = 1800 => Tú giác AEKF nội tiếp => K nằm trên (AEF)
Nối I với E và F thì có: ^IFK + ^IEK = ^IKF + ^IKE = ^EKF = ^BKC
=> ^IFK + ^IEK + ^KBC + ^KCB = ^IFK + ^IEK + ^KFD + ^KED = ^IFD + ^IED = 1800 (Do DKEC;DKFB nội tiếp)
Suy ra: Tứ giác DEIF nội tiếp => ^IDF = ^IEF = ^IFE = ^IDE. Kết hợp với ^BDF = ^CDE (=^BAC)
Dẫn đến ^IDF + ^BDF = ^IDE + ^CDE => ^IDB = ^IDC => ID vuông góc BC (2 góc kề bù bằng nhau) (đpcm).
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{FAC}\) chung
Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC
Có \(\Delta ECB\) vuông tại E và có EM là đường trung tuyến
\(\Rightarrow EM=\dfrac{1}{2}BC=BM\)
\(\Rightarrow\Delta EBM\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{BEM}=\widehat{MBE}\)
mà \(\widehat{MBE}=\widehat{CAD}\) (vì cùng phụ góc BCA)
\(\Rightarrow\widehat{BEM}=\widehat{CAD}\)
\(\Rightarrow\)EM là tiếp tuyến của (C1)
CM tương tự đc EM là tiếp tuyến của (C2)