Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vẽ đường kính CM
\(MA\perp AC\)(\(\Delta MAC\)nội tiếp)
\(BE\perp AC\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\)\(MA//BH\) (1)
\(MB\perp BC\)(\(\Delta MBC\)nội tiếp)
\(AH\perp BC\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\)\(MB//AH\)(2)
Từ (1)(2):
\(\Rightarrow\)\(MAHB\)là hình bình hành.
\(\Rightarrow\)\(AH=BM\)
Do\(\widehat{BAC}=60^0\)
\(\Rightarrow BC=R\sqrt{3}\)
Áp dụng địn lí Pytago vào \(\Delta BMC\)
\(BM^2+BC^2=MC^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(BM^2=4R^2-3R^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(BM^2=R^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(BM=\sqrt{R^2}=R\)
\(\Rightarrow\)\(AH=BM=R\)
Mà \(AO=\frac{2R}{2}=R\)
\(\Rightarrow\)\(AH=AO\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta AHO\)cân tại \(A\)(ĐPCM)
a) vì AD là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)\(\Rightarrow\)D là điểm chính giữa BC
\(\Rightarrow OD\perp BC\)
Mà \(DE\perp OD\)
\(\Rightarrow BC//DE\)
b) Ta có : \(\widehat{DAC}=\widehat{DCI}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}\)
\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{KCI}\)
suy ra tứ giác ACIK nội tiếp
c) OD cắt BC tại H
Dễ thấy H là trung điểm BC nên HC = \(\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R\)
Xét \(\Delta OHC\)vuông tại H có :
\(HC=OC.\sin\widehat{HOC}\Rightarrow\sin\widehat{HOC}=\frac{HC}{OC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{HOC}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BOC}=120^o\)
\(\Rightarrow\widebat{BC}=120^o\)
P/s : câu cuối là tính số đo cung nhỏ BC mà sao có cái theo R. mình ko hiểu. thôi thì bạn cứ xem đi nha.
A B C O E F S T I Q K D N J L P M G R
a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI
Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 900 + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC
= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).
+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.
Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR
=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)
=> ^ABG = ^ARK = 900 => ^KRC = ^KDC = 900 => Tứ giác DKCR nội tiếp
=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).
b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM
Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M
Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K
Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)
Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 900 => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng
Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L
=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).
c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ
Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI
Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ2 = KD.KA => KQ2 = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)
Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 1800 - ^QAJ = 1800 - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp
^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 900
=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).
d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC
Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]
Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 900
Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC:
+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 900. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)
=> ^IES = ^IFT < 900 => ^IFT + ^IEC = 1800 => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK
Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)
+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 900 => ^IFT + ^IEC < 1800 => ^ECF + ^EIF > 1800
=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).