Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi E' là điểm đối xứng với E qua A.
Khi đó ta thấy ngay MA là đường trung bình của tam giác EE'H
Vậy nên MA // HE'.
Kéo dài MA, cắt BC tại K.
Ta thấy rằng \(\widehat{BAC}=\widehat{E'AH}\) (Cùng phụ với góc CAE')
Vậy nên ta có ngay \(\Delta ABC=\Delta AE'H\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AE'H}=\widehat{ABC}\)
Lại có \(\widehat{AE'H}=\widehat{E'AK}\) (Hai góc so le trong)
\(\widehat{E'AK}=\widehat{MAE}\) (Hai góc đổi đỉnh)
Vậy nên \(\widehat{ABC}=\widehat{MAE}\)
Suy ra \(\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=\widehat{MAE}+\widehat{BAK}=180^o-\widehat{EAB}=90^o\)
Xét tam giác ABK có \(\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=90^o\) nên \(\widehat{AKB}=90^o\Rightarrow MA\perp BC\left(đpcm\right)\)
b) +) Ta có \(MA\perp BC;ON\perp BC\Rightarrow\) MA // ON.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(NA\perp EH\)
Khi OE = OH thì tam giác OEH cân tại O, suy ra OM là trung tuyến đồng thời đường cao. Vậy \(OM\perp EH\Rightarrow\) OM // NA
Vậy thì AMON là hình bình hành.
+) Ta có AMON là hình bình hành nên AM = ON.
Lại có \(AM=\dfrac{HE'}{2}=\dfrac{BC}{2}=BN=NC\)
Nên \(NO=NB=NC\Rightarrow\widehat{BOC}=90^o\)
Vậy thì \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=45^o\)
Ta có \(\widehat{BAC}+\widehat{B_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_2}+\widehat{C_1}=180^o\)
Mà do OA = OB = OC nên \(\widehat{B_2}=\widehat{BAO};\widehat{C_2}=\widehat{OAC}\Rightarrow\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\widehat{BAC}\)
Suy ra \(2\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{BAC}=45^o\)
Bài 12:
:v Mình sửa P là trung điểm của EG
a) Ta có: \(\widehat{EAC}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)
\(\widehat{GAB}=\widehat{GAC}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\)
Xét tam giác EAC và tam giác BAG có:
\(\hept{\begin{cases}EA=AB\\\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\left(cmt\right)\\AG=AC\end{cases}}\Rightarrow\Delta EAC=\Delta BAG\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow CE=BG\)( 2 cạnh t. ứng )
+) Gọi O là giao điểm của EC và BG, Gọi I là giao điểm của AC và BG
Vì \(\Delta EAC=\Delta BAG\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\)
Vì tam giác AIG vuông tại A nên \(\widehat{I1}+\widehat{AGB}=90^0\)(2 góc phụ nhau )
Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\left(cmt\right),\widehat{I1}=\widehat{I2}\)( 2 góc đối đỉnh )
\(\Rightarrow\widehat{I2}+\widehat{ACE}=90^0\)
Xét tam giác OIC có \(\widehat{I2}+\widehat{ACE}+\widehat{IOC}=180^0\left(dl\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IOC}=90^0\)
\(\Rightarrow BG\perp EC\)
b) Vì ABDE là hình vuông (gt)
\(\Rightarrow EB\)cắt AD tại Q là trung điểm của mỗi đường (tc)
Xét tam giác EBC có Q là trung điểm của EB (cmt) , M là trung điểm của BC (gt)
\(\Rightarrow QM\)là đường trung bình của tam giác EBC
\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}EC\left(tc\right)\)
CMTT: \(PN=\frac{1}{2}EC;QP=\frac{1}{2}BG,MN=\frac{1}{2}BG\)
Mà EC=BG (cm câu a )
\(\Rightarrow QM=MN=NP=PQ\)
Xét tứ giác MNPQ có \(QM=MN=NP=PQ\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MNPQ\)là hình thoi ( dhnb ) (1)
CM: MN//BG , QM//EC ( dựa vào đường trung bình tam giác )
Mà \(BG\perp EC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MN\perp MQ\)
\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^0\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MNPQ\) là hình vuông ( dhnb )
\(\)
Bài 11:
a) Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0\)
\(\Rightarrow D,A,E\)thẳng hàng
b) Vì AHBD là hình chữ nhật (gt)
\(\Rightarrow AB\)cắt DH tại trung điểm mỗi đường (tc) và AB=DH(tc)
Mà P là trung điểm của AB (gt)
\(\Rightarrow P\)là trung điểm của DH (1)
\(\Rightarrow PH=\frac{1}{2}DH,PA=\frac{1}{2}AB\)kết hợp với AB=DH (cmt)
\(\Rightarrow PH=PA\)
\(\Rightarrow P\in\)đường trung trục của AH
CMTT Q thuộc đường trung trực của AH
\(\Rightarrow PQ\)là đường trung trực của AH
c) Từ (1) => P thuộc DH
=> D,P,H thẳng hàng
d) Vì ABCD là hình chữ nhật (gt)
=> DH là đường phân giác của góc BHA (tc) mà góc BHA= 90 độ
=> góc DHA= 45 độ
CMTT AHE =45 độ
=> góc DHA+ góc AHE=90 độ
Hay góc DHE=90 độ
=> DH vuông góc với HE
tự kẻ hình :
có M; N lần lượt là trung điểm của AB; AC (gt)
=> MN là đường tb của tam giác ABC (đn)
=> MN // BC (đl)
góc BCNM là tứ giác
=> BCNM là hình thang (đn)
Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh đối diện theo thứ tự ở D, E, F. Đường thẳng đi qua I và song song với BC cắt DE, DF theo thứ tự ở N, M. Chứng minh IN = IM