Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(AB<AC) nội tiếp đường tròn 
(O) và có trực tâm H.
và KE song song với BC.
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
a) Tứ giác BCEF có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow BCEF\)là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{E_1}\)
\(\Delta PBE\)và \(\Delta PFC\)có: \(\widehat{EPC}\)chung; \(\widehat{E_1}=\widehat{C_1}\)
\(\Rightarrow\Delta PBE\)
\(\Delta PFC\)(g.g)
\(\Rightarrow\frac{PB}{PF}=\frac{PE}{PC}\Rightarrow PB.PC=PE.PF\)
Tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}=\widehat{BFH}=90^0\)(gt)
\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)
\(\Rightarrow\)BDHF là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)
Gọi J là trung điểm của AH. Dễ thấy \(\Delta HEF\)nội tiếp đường tròn \(\left(J;\frac{AH}{2}\right)\)
Tứ giác HEKF nội tiếp đường tròn (J)
\(\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{HEK}\left(=180^0-\widehat{HFK}\right)\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HEK}\)
\(\Rightarrow KE//BC\left(đpcm\right)\)
b) Tứ giác BCEF nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{HFE}\)
Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow\widehat{DFE}=2\widehat{B_1}\)(1)
\(\Delta EBC\)vuông tại E, đường trung tuyến EI
\(\Rightarrow IB=IE=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta IBE\)cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{I_1}=2\widehat{B_1}\)(t/c góc ngoài của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{DFE}\)
\(\Rightarrow DIEF\)là tứ giác nội tiếp.
Dễ chứng minh được \(\Delta PDF\)
\(\Delta PEI\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PD.PI=PE.PF\)
và \(\Delta PHE\)
\(\Delta PFQ\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow PE.PF=PH.PQ\)
\(\Rightarrow PD.PI=PH.PQ\Rightarrow\frac{PD}{PQ}=\frac{PH}{PI}\)
\(\Rightarrow\Delta PDH\)
\(\Delta PQI\)(c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{PHD}=\widehat{PIQ}\)
Lại có \(\widehat{PHD}=\widehat{AHQ}=\widehat{AFQ}\)
\(\Rightarrow BIOF\)là tứ giác nội tiếp.