Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử tam giác ABC có H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm tam giác ABC. Ta phải chứng minh tam giác ABC đều.
Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF vừa là các đường cao, vừa là các đường trung tuyến trong tam giác.
Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD;
\(AD \bot BC; BE \bot AC; CF \bot AB\)
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
AD chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC} (=90^0)\)
BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.g.c) nên AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).
Tương tự, ta cũng được, AC = BC
Xét tam giác ABC có AB = AC = BC nên là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác ABC đều.
a)
Ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);
H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);
I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;
O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).
Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.
Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.
b)
Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).
Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)
AD chung;
\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.
Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
VẼ DF VUÔNG GÓC VỚI AB, EG VUÔNG GÓC VỚI AC
BD = CE => SABC = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1)
TAM GIÁC ADF ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC AEG => DF/EG = AD/AE (2)
TỪ (1) VÀ (2) => AC/AB = AD/AE, CHO TA TAM GIÁC ABE ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC ACD
=> GÓC ABE = GÓC ACD => TAM GIÁC ABC CÂN (đpcm)
tự vẽ hình
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực của cạnh đáy BC đồng thời là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh BC.
Kết hợp với giả thiết suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , O là tâm đường tròn
ngoại tiếp , I là trung điểm BC , AD là đường kính của (O) .
Chứng minh H , G , O thẳng hàng ?
Giải :
Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn 1/2 (O))
Xét tứ giác BHCD ta có :
BH // DC ( vì cùng vuông góc với AC )
CH // DB ( vì cùng vuông góc với AB )
Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành .
===> H , I , D thẳng hàng và IH = ID (t/c đường chéo hbhành)
Ta lại có : OI = 1/2 AH ( đ.trung bình tam giác DAH ) (1)
GI = 1/2 GA (t/chất trọng tâm của ABC ) (2)
góc HAG = góc GIO ( so le trong vì AH // OI ) (3)
Do đó tam giác GAH đồng dạng tam giác GIO ( c.g.c)
===> góc HGA = góc IGO (góc tương ứng của 2 t.giác đ.dạng )
Vì góc HGA và góc IGO là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra H , G , O thẳng hàng .
Vậy trong 1 tam giác trực tâm , trọng tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !
Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.
G là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến trong tam giác.
Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD.
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
AB = AC (tam giác ABC đều);
AD chung
BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.c.c) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).
Mà ba điểm B, D, C thẳng hàng nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)hay \(AD \bot BC\). (1)
Tương tự ta có:
\(\widehat {AEB} = \widehat {CEB} = 90^\circ \) hay\(BE \bot AC\). (2)
\(\widehat {AFC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) hay\(CF \bot AB\). (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra G là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.
Vậy G cũng là trực tâm của tam giác ABC.