Question

[the king of house]

cho tam giác ABC,(AB<AC) , đg cao AK,gối Đ,E,F lần lượt là trung điểm Của AB,AC,BC,

a, tứ giác BDEF là hình j vì sao? 

b,CM:defk la hinh thang can

c,gọi h là trực tâm của tam giác ABC,M,N,P lần lượt là TĐ của HA,HB,HC,CM MF,NE ,PD dồng wy và bằng nhau

Answer 1

[Huỳnh Ngọc Minh Tuân]

a) Tam giascABC có D là trung điểm AB; E là trung điểm AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE//BC; DE=1/2BC

ta có BF=FC=1/2BC(gt) => BF=DE=1/2BC

Tứ giác BDEF có DE//BF; DE=DE nên BDEF là hình bình hành.

b) Vì BDEF là Hình bình hành nên góc DEF=DBF

mà DE//BF nên góc EDK=DBK(so le trong)

Từ 2 điều này suy ra góc EDK=DEF.

Tứ giác DEFK có KF//DE(DE//BC) nên DEFK là hình thang, lại có hai góc kề đáy EDK=DEF nên DEFK là hình thang cân.

c)

• Tam giác ABH có D là trung điểm AB;N là trung điểm BH nên DN là đường trung bình của tam giác ABH

=> DN=1/2AH;

DN//AH mà AH vuông góc với BC nên DN cũng vuông góc với BC

Vì DN vuông góc với BC mà DE//BC(cmt) => DE vuông góc với DN. hay góc D=90 độ

            Tam giác AHC có E là trung điểm AC; P là trung điểm HC nên EP là đường trung bình của tam giác AHC

=> EP//AH; EP=1/2AH.

Tứ giác DEPN có DN//EP( cùng song song với AH); DN=EP(=1/2AH) nên DEPN là hình bình hành.

Lại có góc D= 90 độ(cmt) nên DEPN là hình chữ nhật

=> Hai đường chéo DP và NE cắt nhau và bằng nhau (1).

• Tam giác ABH có D là trung điểm AB; M là trung điểm AH nên DM là đường trung bình của tam giác ABH

=> DM=1/2BH;

DM//BH mà BH vuông góc với AC( H là trực tâm của tam giác ABC)

=>DM vuông góc AC. hay Góc M = 90 độ

Lại có  M là trung điểm AH; P là trung điểm HC nên MP là đuognừ trung bình của tam giác AHC. => MP//AC

từ hai điều này suy ra DM vuông góc MP.

Tam giác BHC có P là trung điểm HC; F là trung điểm BC nên PF là đuognừ trung bình của tam giác BHC => PF//BH; PF=1/2BH

Tứ giác DMPF có DM//PF(cùng song song với BH); DM=PF(=1/2 BH) nên DMPF là hình bình hành

lại có Góc M bằng 90 độ nên DMPF là hình chữ nhật.

=> hai đuognừ chéo DP và MF cắt nhau và bằng nhau(2).

Từ (1) và (2) suy ra MF,NE,PD đồng quy và bằng nhau