Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn làm theo cách này nhé, sẽ ngắn gọn hơn !
A B C D H
Hạ đường cao AH của \(\Delta\)ABC.
Ta có: ^ADH là góc ngoài của \(\Delta\)ADB => ^ADH = ^ABD + ^BAD = 300 + 150 = 450
Xét \(\Delta\)AHD có: ^AHD=900; ^ADH=450 => \(\Delta\)AHD vuông cân tại H => HD = AH.
Dễ thấy: \(\Delta\)AHB là tam giác nửa đều => AH=1/2.AB => HD=1/2.AB
\(\Delta\)AHC cũng là tam giác nửa đều => HC=1/2.AC
=> HD + HC = 1/2 (AB+AC) => CD = (AB+AC)/2
=> AC + CD = AC + (AB+AC)/2. Do \(\Delta\)ABC nửa đều => AC=BC/2
=> AC + CD = BC/2 + (AB+AC)/2 = CABC/2 (đpcm).
A B C D E I H K
Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại E. DE giao AB ở I
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên CD và DE
Xét \(\Delta\)BID và \(\Delta\)AIE: ^BDI = ^EAI = 900; ^BID = ^AIE (Đối đỉnh)
=> ^DBI = ^AEI hay ^HBA = ^KEA
Ta có: ^HAB + ^HBA =900; ^KAE + ^KEA = 900. Mà ^HBA=^KEA => ^HAB = ^KAE.
Ta thấy: ^ADC là góc ngoài \(\Delta\)BAD => ^ADC = ^BAD + ^ABD = 300 + 150 = 450
Mà ^CDE = 900 = .^CDE= 2.^ADC => DA là phân giác ^CDE
Do H và K là hình chiếu của A lên CD và DE => AH=AK (T/c đường phân giác)
Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AKE: AH=AK; ^AHB = ^AKE =900; ^HAB = ^KAE (cmt)
=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)AKE (g.c.g) => AB=AE (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)CDE: ^CDE=900; ^DCE=600 => \(\Delta\)CDE là tam giác nửa đều
= > \(CD=\frac{CE}{2}=\frac{AC+AE}{2}=\frac{AB+AC}{2}\)(Do AB=AE)
\(\Leftrightarrow AC+CD=AC+\frac{AB+AC}{2}\)(1)
Mặt khác \(\Delta\)ABC là tam giác nửa đều => \(AC=\frac{BC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AC+CD=\frac{BC}{2}+\frac{AB+AC}{2}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{C_{\Delta ABC}}{2}\)
=> ĐPCM.
a) Ta có: \(\widehat{IOK}=\widehat{BOC}-\widehat{BOI}-\widehat{KOC}=\widehat{BOC}-60^o\)
Mà \(\widehat{BOC}=180^o-\widehat{B_1}-\widehat{C_1}=180^o-\left(\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}\right)=180^o-\frac{180^o-\widehat{A}}{2}=180^o-30^o=150^o\)
\(\Rightarrow\widehat{IOK}=150^o-60^o=90^o\Rightarrow OI\perp OK\)
b) Ta có: \(\widehat{BOE}=\widehat{COD}=180^o-30^o-90^o-30^o=30^o\)
Xét \(\Delta BEO;\Delta BIO\); có:
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(gt\right);\) Chung BO \(;\widehat{IOB}=\widehat{EOB}=30^o\)
=> \(\Rightarrow\Delta BEO=\Delta BIO\left(g.c.g\right)\Rightarrow BE=BI.\)
Tương tự thì KC=DC
Mà BC>BI+KC => BE > BE+DC
Bài 1:
A B C I E D H
Vẽ \(IH\) là tia phân giác của \(\widehat{AIC}\)
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{C}=180^0-\widehat{B}=180^0-60^0=120^0\)
Ta có: \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\left(1\right)\)
Và: \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat{C}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\frac{120^0}{2}=60^0\)
Lại có: \(\widehat{EIA}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=60^0=\widehat{AIH}\)
Xét \(\Delta EAI\) và \(\Delta HAI\) có:
\(\widehat{EAI}=\widehat{HAI}\left(AD-là-tia-p.giác-của\widehat{A}\right)\)
\(\widehat{AIE}=\widehat{AIH}\left(cmt\right)\)
\(AI\) chung
\(\Rightarrow\Delta AIE=\Delta AIH\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow IE=IH\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự \(\Delta CHI=\Delta CDI\left(g-c-g\right)\Rightarrow ID=IH\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IE=ID\)
\(\Rightarrow\Delta IDE\) cân tại \(I\left(đpcm\right)\)
2. A B C H K D E
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BD => \(\Delta\)DBE cân tại B (1)
=> BD = BE
Ta có: BD là phân giác ^ABC => ^DBE = 40\(^{^o}\): 2 = 20\(^o\)(2)
(1) ; (2) => ^BDE = ^DED = ( 180\(^o\)- 20\(^o\)) : 2 = 80\(^o\)
=> ^DEC = 180\(^o\)- 80\(^o\)=100\(^o\)
Xét \(\Delta\)DEC có: ^EDC = 180\(^o\)- ^DEC - ^DCE = 180\(^o\)-100\(^o\)-40\(^o\)=40\(^o\)
=> \(\Delta\)DEC cân tại E => DE = EC (3)
Từ D kẻ vuông góc với BC tại H và BA tại K.
D thuộc đường phân giác ^ABC ( theo t/c đường phân giác ) => DK = DH
Vì ^BAC = ^DEC = 100\(^o\)=> ^KAD = ^HED
=> \(\Delta\)KAD = \(\Delta\)HED ( cạnh góc vuông - góc nhọn )
=> DA = DE (4)
Từ (3) ; (4) => DA = EC
Vậy BC = BE + EC = BD + AD
A B C D M
trên tia đối của MA lấy MD sao cho MA = MD
xét tam giác CMD và tam giác BMA có : BM = MC do M là trung điểm của BC (gt)
góc AMB = góc CMD (đối đỉnh)
=> tam giác CMD = tam giác BMA (c-g-c)
=> CD = AB và góc CDM = góc MAB (đn)
mà góc CDM so le trong với MAB
=> CD // AB (đl)
=> góc BAC = góc ACD (đl)
mà góc BAC = 90 (gt)
=> góc BAC = góc ACD = 90
xét tam giác ABC và tam giác CDAcó : AC chung
CD = AB (cmt)
=> tam giác ABC = tam giác CDA (2cgv)
=> góc CDA = góc ABC mà góc CDA = góc DAB (cmt)
=> góc MAB = góc MBA (tcbc)
=> tam giác AMB cân tại M (đn)
=> MA = MB mà MB = BC/2 do M là trung điểm
=> MA = BC/2
B A C D E 1 2 1 1 2
CM: a) Xét t/giác ABE và t/giác DBE
có : AB = BD (gt)
\(\widehat{A}=\widehat{D_1}=90^0\) (gt)
BE : chung
=> t/giác ABE = t/giác DBE (ch - cgv)
=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (2 góc t/ứng)
=> BE là tia p/giác của \(\widehat{ABC}\)
b) Xét t/giác ABC có \(\widehat{A}=90^0\) => \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
Xét t/giác DEC có \(\widehat{D_2}=90^0\) => \(\widehat{E_1}+\widehat{C}=90^0\)
=> \(\widehat{B}=\widehat{E_1}\)
mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{B}}{2}\) (cmt)
=> \(\frac{\widehat{E_1}}{2}=\widehat{B_1}\) => \(\widehat{B_1}=\frac{1}{2}\widehat{E_1}\) hay \(\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{CED}\)
Kẻ D sao cho A là trung điểm của CD . Tam giác BCD có đường cao BA (gt) và trung tuyến BA nên tam giác BDC cân ở B mà có góc C = 60 độ ( C= 90 - B= 90-30= 60)
Do đó tam giác BDC đều nên BC = CD mà AC= 1/2 CD( A là tđ CD) nên AC= 1/2 BC (đpcm)
Với tam giác ABC có góc A = 90 o và góc B = 30 o => góc C = 60 o Gọi M là trung điểm của BC mà Δ ABC có góc A = 90 o =>AM=BM=CM(định lý) =>tam giác AMC cân tại M mà góc C = 60 o => Δ AMC đều =>AC=MC mà MC =1/2.BC => AC = 1/2 BC