Question

[Chan]

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O;R) có đường kính BC và cạnh AB=R. Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H

a) Tính độ dài các cạnh AC,AH và số đo góc B, góc C

b) Chứng minh: AH.HD=HB.HC

c) Gọi M là giao điểm của AC và BD. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở I, căt AC ở N. Chứng minh: C,D,N thẳng hàng

d) Chứng minh: AI là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tính AI theo R

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được: 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=\left(2\cdot R\right)^2-R^2=3\cdot R^2\)

\(\Leftrightarrow AC=R\cdot\sqrt{3}\)(đvđd)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot2R=R\cdot R\sqrt{3}\)

hay \(AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)(đvđd)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2\cdot R}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

hay \(\widehat{ABC}=60^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-60^0\)

hay \(\widehat{ACB}=30^0\)

Vậy: \(AC=R\cdot\sqrt{3}\) đvđd; \(AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)đvđd; \(\widehat{ABC}=60^0\); \(\widehat{ACB}=30^0\)

b) Xét (O) có 

BC là đường kính của (O)(gt)

AD là dây của đường tròn(O)

BC⊥AD tại H(gt)

Do đó: H là trung điểm của AD(Định lí đường kính vuông góc với dây)

⇔AH=HD

hay \(AH\cdot HD=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(HB\cdot HC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot HD=HB\cdot HC\)(đpcm)